2015步步高理科数学专题一

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1、专题一　高考中的导数应用问题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案　D解析　函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.2．已知函数f(x)＝asin2x－sin3x(a为常数)在x＝处取得极值，则a的值为(　　)A．1B．0C.D．－答案　A解析　∵f′(x

2、)＝2acos2x－cos3x，∴f′＝2acosπ－cosπ＝0，∴a＝1，经验证适合题意．3．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有

3、f(x1)－f(x2)

4、≤t，则实数t的最小值是(　　)A．20B．18C．3D．0答案　A解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2

5、]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.4．已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．答案　[e，＋∞)解析　f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e.5．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值

6、范围是__________．答案　[－2，－1]解析　由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2.①又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3.②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1].题型一　利用导数研究函数的单调性例1　已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2

7、)讨论f(x)的单调性．思维启迪　(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a>0，a<0三种情况求解．解　(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0，若x>0，则f′(x)>0.所以当a＝

8、0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a>0时，由2x－ax2<0，解得x<0或x>，由2x－ax2>0，解得00时，函数f(x)在区间(－∞，0)，(，＋∞)上为减函数，在区间(0，)上为增函数．③当a<0时，由2x－ax2<0，解得0，解得x<或x>0.所以，当a<0时，函数f(x)在区间(－∞，)，(0，＋∞)上为增函数，在区间(，0)上为减函数．综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x

9、)在(－∞，0)，(，＋∞)上单调递减，在(0，)上单调递增；当a<0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(－∞，)，(0，＋∞)上单调递增．思维升华　(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．　已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(

10、x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f