2015步步高理科数学2.2

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1、§2.2　函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．

2、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　√　)(3)函数y＝

3、x

4、是R上的增函数．(　×　)

5、(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(　×　)(6)函数y＝的最大值为1.(　√　)2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减答案　C解析　作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝

6、(ax－1)x

7、在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必

8、要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．当a＝0时，f(x)＝

9、(ax－1)x

10、＝

11、x

12、在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝

13、(ax－1)x

14、＝

15、ax2－x

16、的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝

17、(ax－1)x

18、＝

19、ax2－x

20、的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝

21、(ax－1)x

22、在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“

23、函数f(x)＝

24、(ax－1)x

25、在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案　，1解析　f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.5．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为________．答案　(1，＋∞)解析　由2x2－3x＋1>0，得函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．令t＝2x2

26、－3x＋1，则y＝logt，∵t＝2x2－3x＋1＝2(x－)2－，∴t＝2x2－3x＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y＝logt在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一　函数单调性的判断例1　讨论函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．思维启迪　可根据定义，先设－10，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.又∵a>0，∴f(x1)

27、－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．思维升华　利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：　(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数；(2)求函数y＝的单调区间．(1)证明　设x1，x2是任意两个正数，且00，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，]上是减函数；当≤x1a，又x1－x2<0，

28、所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)