2015步步高理科数学专题二.doc

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1、专题二　高考中的三角函数综合问题1．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．2．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　)A.B．πC．2πD．4

2、π答案　B解析　f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin，T＝＝π.3．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)A．1B．2C.＋1D.＋2答案　B解析　依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，当0≤x<时，≤x＋<，f(x)的最大值是2.4．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cosα，2

3、＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________________________________________.答案　解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.而∠CED＝45°－

4、∠CEB，∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)＝(cos∠CEB－sin∠CEB)＝×＝.方法二　利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED＝，EC＝＝.在△EDC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝，又0<∠CED<π，∴sin∠CED＝＝＝.题型一　三角函数的图象和性质例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．思

5、维启迪　对三角函数的性质的讨论，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω.解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－)－1，再由2kπ－≤2x

6、－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．思维升华　三角函数的图象和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．　已知函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值．解　f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝1－sin2x＋

7、2cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋cos(2x＋)．(1)函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)因为≤x≤π，所以π≤2x＋≤.所以≤cos(2x＋)≤1.所以3≤2＋cos(2x＋)≤2＋，即3≤f(x)≤2＋.所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋.题型二　三角函数和解三角形例2　(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．思维启迪　(1)利用余弦定理求C；(2)由(1)和cosAc

8、osB＝可求得A＋B，代入求tanα.解　(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝＝＝－.又0