第六章 理想不可压缩流体平面势流和旋涡运动ppt课件.ppt

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1、流体力学集美大学机械工程学院无旋　　　　　有势(存在条件)1.速度势函数存在条件类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在的充要条件函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动速度势函数由函数φ的全微分：得：（φ的梯度）圆柱坐标形式（二维）2.速度势函数的性质由不可压缩流体的连续性方程将　　　　　　　　　　　　　　代入得即　　　　　　　　　　　　　——拉普拉斯方程为拉普拉斯算子，φ称为调和函数——不可压缩流体无旋流动的连续性方程性质1：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉

2、斯方程根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分性质2：任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差，而与曲线的形状无关则，求环量问题变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，A点和B点重合，若速度势函数是单值连续的，则流场中沿此封闭曲线的速度环量等于零，即如果速度势函数不是单值函数，则这封闭曲线的速度环量就不等于零。不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充要条件函数ψ称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流　函　数由函数ψ的全微分：得：流函数的主要性质：（1）对于不可压缩流体的平面流动

3、，流函数永远满足连续性方程将速度的流函数表达式代入不可压缩流体平面流动的连续性方程得：（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（3）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的拉普拉斯方程。势函数与流函数的关系：流线族与等势线族正交斜率：斜率：等流线等势线可作流网在流场的个别点上，如边界的角点或速度等于零的点上，可能无法满足正交条件。例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势

4、函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1）满足连续性方程（2）是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，y0）为（0，0）（4）满足拉普拉斯方程，　是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）1.均匀直线流动速度场　　　　　　　　　　（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3基本的平面有势流动由于流场中各点速度相等，根据理想流体的伯努利方程，得如果均匀流体直线流动在水平面上，或流体为气体，一般可忽略重力影响，于是p=c,即流场中压强处处相等。当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：φ1ψ

5、1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ22.平面点源与点汇（用极坐标）（1）点源：Q为点源强度φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4ur源点o是奇点r→0ur→∞速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标θ（2）点汇流量Q为点汇强度φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4汇点o是奇点r→0ur→∞如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程式中，（3）点涡（用极坐标）注意：环流是无旋流！速度势函数流函数速度场点涡强度逆时针为正ψ1φ1ψ2φ2oφ3φ4uθθ可见，点涡的等势线族是经过涡点的放射线，而流线族是同心圆。而且除涡点外，整个平面上都是有势流动也满足同理，对无旋流：——势流叠加原

6、理势流叠加原理以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u0S有势流动叠加作流线步骤：找

7、驻点S：将　　　代入　　　　（舍去）将　　　代入得驻点Ｓ的坐标：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以　　　　　为渐进线外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体）（2）源环流——螺旋流（用极坐标）模型：源流与环流叠加（水泵蜗壳内的扩压流动）势函数流函数θ等势线流线流线和等势线是相互正交的对数螺旋线源流和环流的叠加（流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）离心泵的叶片形状（3）等强源汇流（用极坐标→直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）xy

8、oaarr1r2P(x,y)θ1θ2θq-q势函数流函数源流和汇流的叠加当a→0，q→∞，2qa→常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简a→0