第6章 不可压缩流体的平面势流 《流体力

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1、第六章　不可压缩流体的平面势流 §6-1　　有势流动的速度势函数 一、速度势函数对于无旋流动，有(1)根据数学分析可知：上式成立是成为某一函数的全微分的充要条件。称为速度势函数，简称速度势。即：又有：，，又由矢量分析：　　(2)即速度势的梯度等于流场的速度。在柱坐标中：径向速度：切向速度：轴向速度：由此可见，对任意方向的偏导数，就是速度在该方向的投影，这是的一个重要性质。函数称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。在有势流动中，和的关系为：(3)即在有势流动中，沿AB曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B与起点A的速度势之差。又：在

2、有势流动中，沿任一封闭周线K的速度环量若是单值或由斯托克斯定理，则 二、势函数方程将，，代入不可压流体连续方程：则有：　　　　　(4)(其中称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。对柱面坐标，的拉普拉斯方程为：　(5)〔推导过程为：将，，代入柱面坐标的连续方程，即可〕根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数，则此流动必为无旋流动。此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。即：　　　　　　　　　　　　　　因此，求解不

3、可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程，求得压力分布。                  §6-2　流函数 一、不可压缩流体的流函数以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。推导如下：由二元不可压流体的连续方程则：　　　　　　　　　　　(1)又：平面流动的流线微分方程为：(2)由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数的全微分的充要条件。即：(3)又：所以，，(4)则，，说明满足连续性方程 二、流函数的基本性质(1)等流函数线为流

4、线显然，在流线上，，即即：即，的曲线为流线。在每条流线上的常数值各不相同。(2)即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。XYOABψ1ψψ2uυ-dx-dxdydl证：取两道流成，再取曲线AB垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段，其上速度为，则通过曲线AB的体积流量为：X指向减小方向，为负。为使为正，所以在dx前加负号。证毕。由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。同时，由于在引出这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就

5、存在流函数。 三、流函数方程(5) 四、边界条件若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：或=0(6a)对于无穷远处均匀来流，当取X轴与来流方向一致时，则有(6b) 五、与之间的关系1．满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在和，而对平面无旋流动，由，可推出则(7)再将，代入上式得：(8)对极坐标：(9)所以不可压流体平面无旋流动的流函数，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。又：对平面无旋流动，必然存在由柯西黎曼条件2．流线与等势

6、线正交是流线与等势线正交的条件式就是等势线簇和流线簇互相正交的条件。所以说明(等势线簇)和流线簇正交。在XY坐标平面上由及画图，构成正交网格，称为流网。如下图所示。             §6-3几种简单的势流流动 不可压流体平面无旋流动的流函数和势函数，满足拉普拉斯方程，而且，拉普拉斯方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。设是两个有势流动，均满足：，叠加后，可得；(1)同理：(2)， 一、一、          y平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图) x0      θυ u  设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。即，(3a)(3b)当取x轴与来流方向一致时，

7、则有，，，显然，与互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。又：由位流伯努利方程由，则若平行流在水平面上进行(即z=常数)，或流体重度可忽略不计，则即流场中压力处处相等。 二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。(如图所示)这种流动称为点源。这个点称为源点。yxyx点源点汇反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。             显然，点源和点汇流动都只有径向速度且切向速度又：对半径为r