理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动

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1、第六章理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动§1流体微团运动法分析§2速度环量和漩涡强度§3速度势和流函数§5基本的平面势流§6有势流动叠加§7理想流体的漩涡运动理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。§6－1流体微团运动分析流体微团的运动：平移转动变形转动平移变形角变形线变形一.平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d，经过dt时间后该四边形移到a’、b’、c’d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y二.线变形在t时刻a、b、c、d各点的

2、速度如图，由于各点的速度不同，经过Δt时刻后由b点的和d点的作用下，会产生线变形。xabcdyuvb’a’c’d’定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用ε表示。由定义有：三个方向的线变形讨论b点的和d点的作用，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。三.角变形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用θ表示。由定义有：为三个平面内的角变形四.转动：假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角

3、速度，以ω表示。代入和有或当称无旋流或势流。称有旋流或涡流。流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？例：如图所示，流体各个微团以速度解：平行于x轴作直线流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。§2速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度的方向重合。由涡线定义得涡线方程：2.涡管在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋

4、转角速度是变化的。二.漩涡强度：在涡量场中任取一微元面积，上流体质点的旋转角速度向量为，为的法线方向，微元面积上的漩涡强度用表示定义：A对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：当在A上均布,则有：——称为涡通量漩涡强度等于2倍的涡通量。三、速度环量定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为，在该曲线上取一微元段为沿微元线段上的环量。与之间的夹角为α，则称αAB曲线AB上的环量为：若曲线AB是封闭曲线，则环量为：Lα将矢量、分别表示：故对封闭周线L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周

5、线，逆时针为正，顺时针为负。例：不可压缩流体平面流动的速度分布为，求绕圆的速度环量。解：积分路径在圆上，有四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度，等于该面积的边界L上的速度环量Γ。Stokeslaw将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。1.微元面积的stokeslaw证明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：沿A、B、C、D的速度环量为由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：将各点速度代入整理，有：∴stokes定理得证。（水平面）2.有限单连域的stokeslaw:将微元面积的结果

6、推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积，求出每条边，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线L的环量。L此式即为有限大单连域stokes定理。即：此定理也可用于复连域：L1L2AStokeslaw说明，速度环量Γ不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。问题：沿封闭周线L的环量Γ为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度水平运动，

7、在流场中任取一封闭周线1234，求若封闭周线取为圆Γ＝？1234例2：求有间断面的平行流的速度环量Γ＝？1234Lbu1u2例3：龙卷风的速度分布为试根据stokeslaw来判断是否为有旋流动。时时如图，当，流体以ω象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。在区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。自由涡rr0ω强制涡复合涡分别讨论自由涡和强制涡。在区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD