不可压缩流体的平面势流

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1、第9章不可压缩流体的平面势流本章概述:不可压缩流体的平面无旋流动在平面势流的条件下,可将流动基本方程简化为势函数方程，然后在给定的边界条件下求解势函数方程，根据势函数的性质和伯努利方程，就可以求得所研究流场的速度分布和压强分布。9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程9.2平面势流叠加原理和几种简单的平面定常势流9.3几种简单平面势流的叠加势流9.4不带环量的圆柱绕流(均匀直线流＋偶极流)9.5带环量的圆柱绕流和儒科夫斯基升力定理9.1不可压缩势流的势函数方程和流函数方程9.1.1势函数:在流场中存在一个函数,它的方向导数分别等于该方向的流动分速，这一函数就称为速度势函数，简称势函数或速度

2、势势函数只有在无旋流中才存在。即某一流动势无旋的，则这一流动就是有势的,即流场中流体微团的旋转速度ω处处为零有各方向上的旋转速度为则可得:，势函数的定义知,存在它的方向导数分别等于该方向的流动分速,即如果速度势是具有连续导数的单值函数，则上述无旋条件即可得到：在无旋定常流中，势函数只是空间坐标的函数，所以势函数的全微分可以表示为：注意：在无旋流中必存在势函数。反之，如果流场中存在势函数，则该流场一定是无旋流。所以无旋流与有势流是等价的。9.1.2平面流的流函数在平面流中，如果该流动满足连续方程，则在这平面流中就存在一个流函数，它的作用与有势流中的势函数类似，也可以用来描述整个流场。平面流的流

3、函数存在条件是满足连续方程：对于平面流，流线方程可以写成即由于式(9.4)是式(9.5)的左边　　　　　　　　　为某一函数对坐标全微分的充分必要条件，我们记这个函数为　　　　　，称为流函数。则有即一旦一个连续流场的流函数得知后，通过交叉偏导数可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求得全场的压强分布。因此找到一个特定的平面流的流函数，就等于知道了该流场的速度、压强。注意:一切平面流动的流场，不论是无粘流体还是有粘流体，也不论是有旋流动还是无旋流动，只要它满足连续方程(9－4)，都存在着流函数.但是，只有无旋流动才存在势函数。因此，对于平面流动，流函数具有更普适的意义，它是研究平面流的有力

4、工具。9.1.3势函数方程和流函数方程－拉普拉斯方程9.1.3.1势函数方程在平面定常无旋流中，同时存在势函数和流函数，如果将势函数与速度的关系:即和将之代入连续方程(9.4)，则有即可记为即是不可压平面势流的势函数方程，该方程为拉普拉斯方程。说明平面不可压势流的势函数是调和函数。在势函数和流函数同时存在的条件下，流场中任意点的速度可表示为:9.1.3.2流函数方程将流函数与速度的关系(9.7)式代入无旋关系的式中，有即为:在推导上述方程时我们使用了无旋条件，因此流函数方程只是在平面定常不可压势流的情况下才存在。如果平面流是有旋的，那么该流动有流函数存在，但是此时流函数并不满足拉普拉斯方程。

5、9.1.4等势线和等流函数线的正交性等势函数线是指的曲线，沿等势线，即由上式，可得到等势线在流场中任意点(x,y)的斜率等流函数是指的曲线，即流线，沿等流函数，即等流函数线在流场中任意点(x,y)的斜率等势线和等流函数线在点(x,y)的斜率乘积由此可见，在平面定常不可压势流中，等势线和等流函数线正交。9.2平面势流叠加原理和几种简单的平面定常势流9.2.1势流叠加原理面不可压势流的势函数方程和流函数方程均是拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是线形方程，线形方程有一个重要的特征，即方程解的可叠加性。两个或数个拉普拉斯方程解的和或差仍是拉普拉斯方程的解。的势函数，从而获得复杂势流的解。这样，我们就可以

6、用一些简单的势函数叠加来获得一个复杂势流函数分别为和的两个有势流动，根据势函数的性质，它们都满足拉普拉斯方程，即可得到即为两个势流叠加，得到一个速度势为的新的复合流动，并且新的复合势流的速度场也可以直接将各简单势流速度场叠加而得类似地，新的复合势流的流函数，等于两个原来的简单流动流函数之和。9.2.2均匀直线流动设一平面流动的速度在全场处处相同，它与轴的夹角为α，则它的两个分速分别为：式中a,b为常数这是一个无旋流动，同时又满足连续方程，利用势函数和流函数的性质，有积分这两式，得到如果取(0,0)点的则有即于是有等势线和流线方程分别为则有流线和等势线如右图所示图9.1均匀平行流9.2.3点源

7、和点汇其分速为设在无限大平面上，流体以一恒定的体积流量，源源不断地从一个点沿径向向四周均匀地流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。称为点源强度；若为负值，则意味着流体沿径向均匀地从四周流入一点，这种流动称为点汇。若将坐标原点作为源点或汇点，显然，在这种流动中，从源点流出或向汇点流入都只有径向速度,切向速度为0根据以上速度分布，就可以容易地求出点源(点汇)的势函数和流函数来：积分之，得到点源(点汇)的等势线是