经济数学――微积分 定积分的几何应用ppt课件.ppt

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1、一、定积分的元素法二、平面图形的面积第七节定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积五、小结回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值abxyo提示面积元素定积分的微元法从面积表为定积分的步骤,其主要步骤如下:(1)根据具体问题,分变量,并确定它的变化区间出相应于这个区间可抽象出在应用学科中—微元法(也称为元素法).表示为定积分的方法广泛采用的将所求量(总量)选取一个积例如为积分变量,的一个区间微元任取求的近似值,微元上部分量求出所求总量的微元即(2)根据写出表

2、示总量的定积分由分割写出微元由微元写出积分许多部分量,应用微元法解决实际问题时,应注意如下两点:(1)即如果把区间分成许多部分区间,则相应地分成而等于所有部分量之和;(2)即使得似表达式微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.所求总量关于区间应具有可加性,使用微元法的关键在于的近正确给出部分量二、平面图形的面积如何用元素法分析？，二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形

3、的面积第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？解两曲线的交点选为积分变量解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱三、旋转体的体积(volumeofbod

4、y)（1）圆锥圆台三、旋转体的体积(volumeofbody)（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线方程为例2解计算则由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.如图所示,可视为由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体.该旋转体取为自变量,其变化区间为任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积,近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积,即体积微元故所求旋转椭球体的体积为故所求旋转椭球体的体积为特别地,当时,可得半径为的球体的体积解01xy补充利用这个公式，可知上例中例4求由曲线、所围成的图形分别绕轴和轴旋转而成的旋转体的体积.解作草图,并求得曲线及的交点

5、坐标分别为及如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积思考题1思考题1解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为曲线y=f(x)及直线y=kx+b,所围成的曲边梯形,求D绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积.上有连续导数,D为※思考题2如右图示,L：NTMy=f(x)dlD曲线在M点处的切线MT为：思考题2解

6、答应用定积分的元素法，考虑子区间[x,x+dx].设相应于[x,x+dx]的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右端点x+dx的点到垂线的距离为dl,则而M点到直线L的距离为从而得所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为思考题3思考题3解答交点立体体积练习题！练习题答案