资源描述：
《高数A2总复习第9章复习课ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章复习课二、基本概念三、多元函数微分法四、多元函数微分法的应用多元函数微分法及其应用一、主要内容一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元函数连续的概念多元连续函数的性质全微分概念偏导数概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则全微分形式的不变性高阶偏导数隐函数求导法则微分法在几何上的应用多元函数的极值二、基本概念A、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限运算法则与一元函数相类似．存在性——定义，两边夹定理不存在——特殊路径、两种方式求法——运算法则、定义验证、两边夹定理消去致零因子、化成一元极限
2、等B、多元函数的连续性C、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数——纯偏导、混合偏导D、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导三、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性四、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平
3、面及法线(关键:抓住法向量)2.方向导数与梯度定义计算公式(注意使用公式的条件)梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系3.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题求条件极值的方法（代入法，拉格朗日乘数法）目标函数，约束条件，Lagrange函数的构造典型例题例1.讨论二重极限解法1解法2令解法3令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3令此法忽略了的任意性,极限不存在!由以
4、上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例2.证明:而所以f在点(0,0)不可微!例3.已知求出的表达式.解法1令即解法2以下与解法1相同.则且例4.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求解法2方程两边求微分,得化简消去即可得例5.设有二阶连续偏导数,且求解:练习题1.设函数f二阶连续
5、可微,求下列函数的二阶偏导数2.P131题12解答提示:第1题P131题12设求提示:①②利用行列式解出du,dv：代入①即得代入②即得例6.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解:设切点为则切平面的法向量为即切平面方程问题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.唯一驻点例7.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故上求一点,使该点处
6、的法线垂直于练习题：1.在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上2.在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示:设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体体积V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数例4(见例6)3.设均可微,且在约束条件(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是f(x,y)下列选项正确的是()提示:设()代入()得D(2006考研)作业P1295，6，10，15，17
