高数A2总复习第十一章复习课ppt课件.ppt

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1、曲线、曲面积分复习曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义性质计算公式两者关系曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义性质计算公式两者关系曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲线形构件的质量变力沿曲线作功性质线性、可加、无方向可加、有方向计算一代、二换、三定限一代、二换、三定限联系对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义实质分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲面块的质量流向曲面指定侧的流量性质线性、可加、与侧

2、无关线性、可加、与侧有关计算一代、二换、三投影一代、二投、三定号联系曲面积分曲线积分与路径无关的四个等价命题条件等价命题（二）各种积分之间的联系曲线积分定积分计算重积分Green公式计算曲面积分Guass公式计算Stokes公式1.定积分与不定积分的联系牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式3.三重积分与曲面积分的联系高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式关于第二类曲线积分的计算①若曲线封闭，首先考虑使用Green公式②若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方

3、向相容，③化成第一类曲线积分计算④按第二类曲线积分的计算公式直接计算关于对面积的曲面积分的应用曲面面积曲面质量重心坐标二、典型例题例1计算所围成的在第三象限的扇形的整个边界解如图L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解解(如下图)其中L为①不包围也不通过原点的任意闭曲线②以原点为中心的正向单位圆周③包围原点的任意正向闭曲线解①若则由Green公式例4计算若则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记L和所为成的区域为D1，由Green公式②L③在原点不连续，记L和所为成的区域为D1，由Green公式以原点为心，作一半径充分小的正向圆周由于L所围区域包含原点解令得由使得在不经过的

4、值的区域上与路径无关并求当L为从A（1，1）到B（0，2）时的值。例5确定参数A(1,1)B(0,2)ACB如选路径C(1,2)则积分结果不易求出DB但如选路径AD(0,1)则例5求椭圆柱面位于xoy面上方和平面z=y下方的那部分的侧面积解一易见曲面对称于yoz面解二对弧长的曲线积分的几何意义：柱面上的曲边梯形的面积侧面积注曲面面积的计算法SDxy曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，例6计算及平面z=1,z=2所围立体的表面的外侧解一由Gauss公式解二上侧下侧外侧（用极坐标）解由对称性例8计算所截下的部分解积分曲面关于yoz面、zox面对称被积函数

5、xyz

6、关于x和y是偶函数由对称性

7、例9计算解由对称性例10计算绕z轴旋转所成的曲面的下侧解补上曲面取上侧则由Gauss公式例11解利用两类曲面积分之间的关系解(如下图)例13计算的外表面解一先计算下侧上侧同理解二由Gauss公式=0（用对称性）