资源描述：
《专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】22xy探究1：如图，设A,B分别为椭圆E:221(ab0)的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段abAB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），ABC和ABD的面积分别为S1与S2．1（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为yx，求椭圆的离心率；3S1（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．S22y解：（1）e2；3（2）设C(x0,y0),D(x0,y0),（x00,y00）BCS1bx0ay0abbx0ay0abSbxayabbxayabOM20000x2abA1bx0ay0abD令tbx0
2、ay01：三角换元：t2sin(0,)，42S1当且仅当t2时（此时时等号成立），可取得最大值3224S22222122：基本不等式的应用：(bx0)(ay0)abt,同理可得结果2椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行；S1且在该交点处，此时S1,S2,都是最大的.S222xy32探究2：如图，椭圆C1:221(ab0)的离心率为，x轴被曲线C2:yxb截得的线段ab2长等于C1的长半轴长（1）求C1，C2的方程；;..（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（I）证明：MD⊥ME;（II）
3、记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2．问：是否存在S117直线l,使得？请说明理由.S232c3解：（1）由题意知e,从而a2b,又2ba,解得a2,b1.a22x22故C1，C2的方程分别为y1,yx1.4（2）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.ykx2由得xkx10.2yx1设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1x2k,x1x21.又点M的坐标为（0，—1），所以;..2y11y21(kx11)(kx21)kx1x2k(x1x2)1kMAkMBx1x2x1x2x1x222kk11.故MA⊥MB，即MD⊥
4、ME.1yk1x1,（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为yk1x1,由2解得yx1x0xk,21或2，则点A的坐标为(k1,k11).又直线MB的斜率为，y1yk11k111同理可得点B的坐标为(,1).2k1k12112111k1于是S1
5、MA
6、
7、MB
8、1k1
9、k1
10、11
11、
12、22k1k12
13、k1
14、yk1x1,22由22得(14k1)x8k1x0.x4y408k1x,22x0,14k18k14k11解得或，则点D的坐标为(,).222y14k1114k114k1y214k1218k14k1又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为(,).22k4k14k12132(1k1)
15、
16、k1
17、S1124于是S2
18、MD
19、
20、ME
21、22.因此(4k1217).2(1k1)(k14)S264k112417221由题意知，(4k1217),解得k14,或k1.64k132421k12k113又由点A、B的坐标可知，kk1,所以k.1k2k11k133故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为yx和yx.2222xy探究3：如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中点43;..为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点．1（1）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；4（2）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是
22、否存在直线AB，使得S1S2？说明理由．1解：（1）k229（2）不存在，计算可得k822xy探究4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)的离心率22ab3e，A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切2线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．PQ（1）求直线OP的方程；（2）求的值；QA1o解：（1）连结A2P，则A2PA1P，且A2Pa，又A1A22a，所以A1A2P60.o所以POA260，所以直线OP的方程为y3x.3a⑵由⑴知，直线A2P的方程为y3(xa)，A1P的方程为y(xa)，解得xP.32223c323221
23、2x4y因为e，即，所以ca，ba，故椭圆E的方程为+1.222a244aa3aay(xa),()3aPQ273由解得xQ，所以．x24y27QAa41(a)2+21,7aa⑶不妨设OM的方程为ykx(k0)，;..ykx,2aak1k联立方程组22解得B(,)，所以OBa；x4y2214k22+21,14k14kaa211k2a2ak用代替上面的k，得OCa2．同理可得，OM，ON．k4k221k1k14k所以S1S2OBOCOMONa．因为
