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1、.专题7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：如图，设A,B分别为椭圆E:x2y21(ab0)的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段a2b2AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），ABC和ABD的面积分别为S1与S2．（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y1x，求椭圆的离心率；3（2）当点M在线段AB上运动时，求S1的最大值．S2解：（1）e2y2；3（2）设C(x0,y0),D(x0,y0),（x00,y00）BCS1bx0ay0abbx0ay0abOMS2bx0ay0abbx0ay0abx2abA1bx
2、0ay0abD令tbx0ay01：三角换元：t2sin(0,)，42当且仅当t2时（此时时等号成立），S1可取得最大值3224S22：基本不等式的应用：(bx0)2(ay0)2a2b21t2,同理可得结果2椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行；S1且在该交点处，此时S1,S2,都是最大的.探究2：如图，椭圆C1x2y23:221(ab0)的离心率为ab2，x轴被曲线C2:yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长（1）求C1，C2的方程；;..（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1
3、相交与D,E．（I）证明：MD⊥ME;（II）记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2．问：是否存在直线l,使得S117？请说明理由.S232解：（1）由题意知ec3,从而a2,又2b,解得a2,b1.a2ba故C1，C2的方程分别为x2y21,yx21.4（2）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.由ykx得x2kx10.yx21设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1x2k,x1x21.又点M的坐标为（0，—1），所以;..kMAkMBy11y21(kx11)(kx21)k2x1x2k(x
4、1x2)1x1x2x1x2x1x2k2k211.故MA⊥MB，即MD⊥ME.1（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为yyk1x1,k1x1,由x21解得yx0或xk,，则点A的坐标为(k1,k121).又直线MB的斜率为1，yk12y11k1同理可得点B的坐标为(1,121).k1k1于是S1112
5、k1
6、11
7、1
8、1k12
9、MA
10、
11、MB
12、1k11k12
13、k1
14、22k1yk1x1,得(14k12)x28k1x0.由24y24x0x8k1,x0,128k14k121解得或4k1，则点D的坐标为,4k121(14k12).y1y14k1214k128k1
15、22又直线ME的斜率为1，同理可得点E的坐标为(,4k12).k4k14k1于是S21
16、MD
17、
18、ME
19、32(1k12)
20、k1
21、.因此S11(4k12417).2(1k12)(k124)S264k12由题意知，1(4k12417)17,解得k124,或k121.64k12324k1211,所以k3.又由点A、B的坐标可知，kk12k1k11k12k1故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y3x和y3.2x2探究3：如图，已知椭圆x2y21的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中点43;..为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点．
22、（1）若点G的横坐标为1，求直线AB的斜率；4（2）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由．1解：（1）k29（2）不存在，计算可得k28探究4：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2y21(ab0)的离心率a2b2e3,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切，A12线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求PQ的值；QA1解：（1）连结A2P，则A2PA1P，且A2Pa，又A1A22a，所以A1A2P60o.所以POA2
23、60o，所以直线OP的方程为y3x.⑵由⑴知，直线A2P的方程为y3(xa)，A1P的方程为y3(xa)，解得xPa.32因为e3c3232，b212，故椭圆E的方程为x24y22，即，所以caaa2+a21.a244y3(xa),aa3aPQ()3由，所以274y2解得xQQA1a．x27(a)42+21,7aa⑶不妨设OM的方程为ykx(k0)，;..ykx,aak1k2立方程x24y2解得B(14k2,14k2)，所以OBa2；a2+a21,14k用1代替上面的k，得OCa1k2．同理可得，OM2a，ON2ak．k4k21k21k2所以S1S21OBOCO
24、MONa4(1k．因44
