定积分的概念与计算ppt课件.ppt

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1、第3章（2）定积分的概念与计算习题课课堂练习举　　例主要内容1、设f(x)是连续函数，且2、设f(x)是连续函数，且则f(x)=.x-11、设f(x)是连续函数，且解得x=2,所以2、设f(x)是连续函数，且则f(x)=x-1.解:设于是两边在[0，1]上积分存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式问题1问题2问题3曲边梯形的面积非均匀分布细棒的质量变速直线运动的路程一、主要内容1、定积分的定义定义2、可积的条件（1）利用定积分定义求定积分；（2）利用定积分定义求极限（2）可积的充要条件（1）可积的必要条件或称　　　　　　　为f关于分割D的Darboux大

2、和,称　　　　　　　为f关于分割D的Darboux小和,对任意分割定义其中积分和(1)相应于D的所有的积分和与达布和满足不等式下，达布和(2)在固定的分法是常数，此时由于的选取的任意性，积分和却是变化的，注意:大和的几何意义:曲边梯形“外接”矩形小和的几何意义:曲边梯形“内接”矩形面积之和.面积之和.xyOxyO(3)可积函数类：3、定积分的几何意义4、定积分的性质5、变上限的积分连续记作6、牛顿—莱布尼茨公式条件：换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式7、定积分的计算法8.定积分常用公式9.　广义积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3、~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（2）无界函数的积分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1.定积分与什么有关与什么无关?5.积分上限的函数有一个重要性质是什么?由此重要性质得出了一个重要结论是什么?微积公基本公式是什么?4.定积分有哪些重要性质?3.定积分的几何意义是什么?2.定积分与不定积分有何区别与联系?提问8.广义积分的定义及敛散性?7.定积分有那些常用公式?6.定积分计算法与不定积分法有何不同?答二、典型例题例1一、利用定积分求极限解证明利用对数的性质得例2例３解提

4、示：先用夹逼准则二、含有变上限积分的有关题目7．设f(x)是[a,+)上的连续单调增加函数,求证：在[a,+)上也是单调增加函数.13解解从而有证明解7．设f(x)是[a,+)上的连续单调增加函数,求证：在[a,+)上也是单调增加函数.证明F(x)在(a,+∞)内连续，而在x=a处令F(a)=f(a),则F(x)在[a,+∞)上连续.∵a≤ξ≤x，f(x)单调增加x-a>0,∴F(x)>0;故F(x)在[a,+∞)上单调增加.证明解解证令13解构造辅助函数三、与换元有关的题目3.设f(x)为连续函数，证明证明证明证明证明提示解将上式两边对x求导得从而有四、与分部积分有关的

5、题目求解（2）5.积分第二中值定理解5.积分第二中值定理用分部积分法和积分中值定理提示：五、综合极限，定积分概念，解方程1．　设f(x)是连续函数，且则f(x)=.x-1解设于是两边在[0，1]上积分1．　设f(x)是连续函数，且则f(x)=.解定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.六、积分不等式性质２．证明３.证明４．证明提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值２．证明解因为∴即七、积分不等式证明６．设上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何７．设f(x)在[a,b]上存在连续导数f(a)=0，求证：１．证明２．证法1２．证法2作辅助函数（构造变上限积分）证法1构造变

6、上限积分证法2证法3证明类似于上一题的方法1构造变上限函数证法1构造变上限积分证法2对不等式的左边证法2对不等式的右边６．设上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何利用定积分性质证法1(用积分中值定理)故所给不等式成立.６．设上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何证法2换元法６．设上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何证法３即要证令只须证证法4即要证６．设上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何７．设f(x)在[a,b]上存在连续导数f(a)=0，求证：证法1：由拉格朗日中值定理，在[a,x]上７．设f(x)在[a,b]上存在连续导数f(a)=0

7、，求证：证法2：八、其它证明题2.设f(x)是周期为T的连续函数，证明：---周期函数的一个性质方法1方法1方法22.设f(x)是周期为T的连续函数，证明：证明123课堂练习一、计算下列积分一、计算下列积分1解2解３解解解解是偶函数,解解