定积分的概念ppt 课件.ppt

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1、第五章定积分第一节定积分的概念一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、几何意义五、小结思考题abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决步骤:在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得(1)分割:(2)近似代替:(3)求和:令则曲边梯形面积(4

2、)取极限:实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．解决步骤:得n个小段过的路程为(1)分割:(2)近似代替:(3)求和:(4)取极限:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似代替,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理2三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积

3、分的几何意义各部分面积的代数和这是因为几何意义：例1利用定义计算定积分解利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例2五、定积分的性质两点规定性质1证由定积分定义及极限运算性质：可以推广至有限个可积函数的情形.证推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为g(x)f(x)0从而如果在区间[ab]上f(x)0

4、则性质4所以推论2因为

5、f(x)

6、f(x)

7、f(x)

8、,所以证所以如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质5性质6(定积分中值定理)——积分中值公式由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.解P1531．3（3）．作业五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限练习题练习题答案