机械工程控制基础（系统数学模型）ppt课件.ppt

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1、机械工程控制基础主讲人:钟金豹内蒙古科技大学机械工程学院一、数学模型的基本概念1、数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。2、建立数学模型的方法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特

2、征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。实验法3、数学模型的形式时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性二、系统的微分方程1、定义：时域中描述系统动态特性的数学模型。2、建立数学模型的一般步骤分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列3、控制系统微分方程的列写机械系统

3、机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量mfm(t)参考点x(t)v(t)弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧

4、）的数量。弹簧－阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；C—粘性阻尼系数柔性轴电气系统电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)电容Ci(t)u(t)电感Li(t)u(t)R-L-C无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为：有源电网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：例

5、：列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出输入为f(t),输出为x(t)2)列写微分方程，受力分析3)整理可得：小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的

6、交换。系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：可加性：齐次性：或：叠加液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。A：箱体截面积；上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数。线性系统微分方程的一般形式式中，a1，a2，…，an和b0

7、，b1，…，bm为由系统结构参数决定的实常数，m≤n。三、非线性数学模型的线性化1、线性化问题的提出线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。2、非线性数学模型的线性化泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：或：y-y0=y=Kx，其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称

8、为增量方程。y0=f(x0)称为系统的静态方程；对多