机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型.ppt

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1、第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.2系统的传递函数2.3系统的传递函数方框图及其简化2.4反馈控制系统的传递函数2.5相似原理数学模型定义：数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。描述控制系统在动态过程中各变量之间的数学表达式数学模型的形式时间域：微分方程组、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性能用线性微分方程描述的系统称为线性系统线性微分方程的系数为常数，称为线性定常系统线性定常系统线性时变系统系统数学模型线性系统非线性系统线性（叠加）定理

2、：系统总的输出为单个输入产生的输出的线性叠加xi2(t)xo2(t)系统xi1(t)xo1(t)系统xi1(t)+xi2(t)xo1(t)+xo2(t)建立数学模型的方法1、分析法根据系统和元件所遵循的物理或化学定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型2、实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式，但又能正确地反映所描述系统的特性。在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系进行线性化，建立一个比较纯粹的近

3、似数学模型。2.1系统的微分方程一、系统微分方程的列写1、机械平移系统三要素：质量、阻尼、弹簧ma=∑fi(t)质量mfm(t)参考点x(t)v(t)弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)例：一机械系统如图所示，试列出其微分方程mkcf(t)y(t)mFk(t)Fc(t)f(t)ky(t)Fk(t)cy(t)Fc(t)微分方程标准形式：等号左边：与输出有关的信息等号右边：与输入有关的信息各项元素按降阶排列mkcf(t)x(t)mf(t)f1kcf1f1x

4、1(t)x(t)例例mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响例mx0xick1k22、机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；C—粘性阻尼系数柔性轴3、无源网络三要素：电阻、电容、电感主要掌握：电压电流关系电阻Ri(t)u(t)电容：电感Ci(t)u(t)Li(t)u(t)例：uiRCLu0例uiC1RC2u0i1i2i列写方程的一般步骤：（1）分析系统，确定系统或各

5、元件的输入量、输出量（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；（注意列写时按工作条件，忽略一些次要因素，并对非线性项进行线性化处理）（3）消除所列各微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程；（4）整理所得微分方程，一般将与输出量有关的各项放到方程左侧，与输入量有关的各项放到方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。二、非线性微分方程的线性化1、线性化问题的提出非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非

6、线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。2、非线性数学模型的线性化（1）泰勒级数展开法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y

7、0=f(x0)称为系统的静态方程；或：y-y0=y=Kx，其中：增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。增量方程：静态方程：其中：（2）滑动线性化——切线法线性化增量增量方程为：yy'=xtg切线法是泰勒级数法的特例。0xy=f(x)y0x0xy’y非线性关系线性化A3、系统线性化微分方程的建立（1）步骤1）确定系统各组成元件在

8、平衡态的工作点；2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程；3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；（2）实例：液位系统的线性化