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1、第二章分离变量法2.0预备知识－常微分方程二阶常系数线性方程的标准形式2.0预备知识－常微分方程特征根(1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为齐次方程特征方程2.0预备知识－常微分方程(2)有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3)有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0预备知识－常微分方程2.0预备知识－常微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0预备知识－常微分方程2.1有界弦的自由振动分离变量法是求解偏微分方程最基本和常
2、用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点:方程齐次,边界齐次.(1)没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为;(2)各点振幅随点而异，而与时间无关，用X(x)表示,所以驻波可用表示。驻波的特点：端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1有界
3、弦的自由振动2.1有界弦的自由振动设且不恒为零，代入方程和边界条件中得①由不恒为零，有：取参数这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？④②…..……..③④利用边界条件2.1有界弦的自由振动则⑤特征值问题参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动由边值条件(i)方程通解为(ii)时，通解由边值条件得C1=C2=0从而，无意义.无意义2.1有界弦的自由振动由边值条件从而即(iii）时，通解故而得2.1有界弦的自由振动
4、再求解T：其解为所以两端固定弦本的征振动叠加…….⑤2.1有界弦的自由振动将展开为Fourier级数，比较系数得代入初始条件得：定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。再求解T：其解为所以两端固定弦本的征振动叠加…….⑤2.1有界弦的自由振动将展开为Fourier级数，比较系数得代入初始条件得：2.1有界弦的自由振动定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。（特征值问题）齐次边界条件（特征函数）分离变量法
5、图解2.1有界弦的自由振动则无穷级数解为如下混合问题的解上，，且定理：若在区间2.1有界弦的自由振动⑴弦上各点的频率和初位相都相同，因而没有波形的传播现象。⑵弦上各点振幅因点而异在处，振幅永远为0二、解的物理意义节点腹点特点最大振幅频率初位相在处，振幅最大,为nNu(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。n＝1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n次谐波.2.1有界弦的自由振动例1设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中与弦的材
6、料和张力有关.解设位移函数为，则需要求解下列定解问题2.1有界弦的自由振动因此，所求的解为：=2.1有界弦的自由振动解：令,得化简:例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件引入参数得2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动得C1=C2=0从而，无意义分离变量：时，由边值条件(ii)时,,(iii)时,则而由边值条件由边值条件从而2.1有界弦的自由振动本征值本征函数2.1有界弦的自由振动T的方程其解为所以故代入初始条件:将展开为傅立叶余弦级数，比较系数得解为傅立叶余弦级数，由端点处的
7、二类齐次边界条件决定.2.1有界弦的自由振动2.2有限长杆的热传导问题例1．细杆的热传导问题长为l的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热,x=0端温度为0，x=l端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。解：定解问题为2.2有限长杆的热传导问题得本征问题由及齐次边界条件，有设且并引入参数λ分离变量代入方程2.2有限长杆的热传导问题当或时,当时,由得由得故即令有函数方程2.2有限长杆的热传导问题由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根故本征值为：ry图12
8、.2有限长杆的热传导问题2.2有限长杆的热传导问题对应的本征函数的方程：解为故由初始条件得可以证明函数系在上正交，在（*）式两端乘以并在[0,l]上积分,得且模值（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解（三）将特征值代入另一常微分方程，得到（四）将叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程－－（方程齐次）分离变量法解题步骤－－（边界条件齐次）2.2有限长杆的热传导问题分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和
