二阶常系数齐次线性微分方程课件.ppt

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1、§12.8二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解二阶常系数齐次线性微分方程考虑到当y、y、y为同类函数时有可能使ypyqy恒等于零而函数erx具有这种性质所以猜想erx是方程的解将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yer

2、x就是微分方程的解分析方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.特征方程及其根特征方程的求根公式为二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数rr12+xeeCxCy21=特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根r1、r2方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况简要证明:这是因为函数xre1和xre2

3、都是方程的解;xrrxrxreee)(2121-=不是常数,即xre1与xre2线性无关.xexCrrC2xey111+=有两个不相等的实根r1、r2有两个相等的实根r1r2特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2121+=简要证明:这是因为0)()2(121111=++++=qprrxeprexrxr,即xrxe1是方程的解;xexexrxr=11不是常数,即xre1与xre2线性无关.有两个不相等的实根r1、r2有一对共

4、轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2121+=有两个相等的实根r1r2简要证明:故excosx和exsinx也是方程的解因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而)(21cos21yyxex+=ba,)(21sin21yyixex-=ba,函数excosx与exsinx的比值为cotx不是常数故exco

5、sx和exsinx是方程的线性无关解xrxrxeCeCy1121+=>>>第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.求y+py+qy=0的通解的步骤:有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2121+=有两个相等的

6、实根r1r2xrxrxeCeCy1121+=有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2121+=有两个相等的实根r1r2xrxrxeCeCy1121+=因此微分方程的通解为yC1exC2e3x例1求微分方程y2y3y0的通解解微分方程的特征方程为r22r30特征方程有两个不相等的实根r1

7、1r23即(r1)(r3)0有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2121+=有两个相等的实根r1r2xrxrxeCeCy1121+=特征方程有两个相等的实根r1r21例2求方程y2yy0的通解解微分方程的特征方程为r22r10即(r1)20因此微分方程的通解为yC1e

8、xC2xex即y(C1C2x)exr22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)例3求微分方程y2y5y0的通解有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,2iyex(C1cosxC2sinx)特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况xrxreCeCy2