概率与统计34随机变量的函数ppt课件.ppt

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1、§3.4随机变量的函数及其分布问题的由来很多实际问题中需要研究以随机变量为自变量的函数.一般，若(X1,X2,…,Xn)是已知联合分布的n维随机变量，则仍是随机变量，其中问题如何确定随机变量Y的分布？基本思路希望通过(X1,X2,…,Xn)的已知分布去确定Y的分布.例3.4.1例3.4.2一.离散型随机变量的函数及其分布律离散型随机变量X的分布律为Y=g(X)是随机变量,则满足g(xi)=yj的全体xi构成的集合Z=G(X,Y)是随机变量,则例3.4.3二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为定理3.4.1设随机变量(X,Y)是离散型随机变量,X,Y相互独立,其分布

2、律分别为则X+Y的分布律为例3.4.4离散卷积公式结论若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xi~B(1,p)则X1+X2+….+Xn~B(n,p)反之若X~B(n,p),则存在相互独立的Xi~B(1,p)，使X=X1+X2+….+Xn一般1）随机变量X1，X2，…,Xn相互独立；2）具有相同类型的分布；若二项分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除参数变化,而分布类型不变,称分布具有可加性.教材P84页例3.4.3二、连续型随机变量的函数及其概率密度1.设X是连续型随机变量,若Y=g(X)也是连续型随机变量，则例3.4.5例3.4.6总结从分布函数定义出发FY(y)=P

3、{Y≤y}=P{g(X)≤y}◆求解的关键解决问题的出发点将g(X)≤y转换为关于X的不等式当g(x)为单调递增函数时yx=g1(y){g(X)≤y}={X≤g1(y)}从而FY(y)=FX[g1(y)]当g(x)为单调递减函数{g(X)≤y}={X≥g1(y)}有FY(y)=1－FX[g1(y)]2.求二维连续型随机变量(X,Y)的函数Z=G(X,Y)的概率密度fz(z)，一般方法1）先求出Z的分布函数FZ(Z)；2）对FZ(Z)微分得到fz(z)；FZ(z)=P{Z≤z}=P{G(X,Y)≤z}例3.4.7例3.4.8三.几种特殊函数的分布1.M=max

4、(X,Y)，N=min(X,Y)若X与Y相互独立,有又若X与Y有相同分布从而思考已推得若X与Y相互独立且具有相同分布见教材P88页例3.4.9，随机系统的串并联.2.Z=X+Y的分布设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)x+y=zxyo做积分变量变换,令x=u－yx=u－y由连续型随机变量定义得到公式类似可得若随机变量X,Y相互独立，则卷积公式例3.4.9正态分布的可加性见例3.4.11解题步骤：1）在XOZ平面上作出f(x,z－x)的非零区域G；2）从区域G中确定fz(z)非零区间;3）在fz(z)非零区间内，逐段确定fz(z)的表达式；4）写出fz(z)

5、的完整表达式.例3.4.103.Z=X/Y的分布设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)xyo证做积分变量变换,令x=yu,有例3.4.11xyo问题1炮击某一目标O,已知弹着点(X,Y)服从二维正态分布.点(X,Y)与目标O的距离服从什么分布?问题2由统计物理学,气体分子运动速率服从马克斯维尔分布.分子运动动能服从什么分布?例3.4.1设随机变量X具有分布律求:Y=2X以及Z=sinX的分布律。解.首先由X的可能取值确定Y及Z的取值:Y=2XXZ=sinX－1010得到随机变量函数Y及Z的分布律为:YP{Y=yj}Z－101P{Z=zk}例3.4.2设连续

6、型随机变量X具有分布函数FX(x)，试求Y=X2的分布函数.例3.4.3设(X,Y)的联合分布律为XY0103/103/1013/101/10试求1)sinX,2)X+Y,3)XY,4)Max(X,Y)的分布律.解:由(X,Y)的分布律得P3/103/103/101/10(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)X01sinX0sin1X+Y0112XY0001Max(X,Y)0111sinX0sin1P0.60.4X+Y012P0.30.60.1XY01P0.90.1Max(X,Y)01P0.30.7例3.4.4设X,Y相互独立,且X~B(n1,p),Y

7、~B(n2,p)则X+Y~B(n1+n2,p)二项分布具有可加性求和为例3.4.5设X~N(0,1),求Y=X2的概率密度解y=x2称Y服从自由度为1的χ2分布例3.4.6已知随机变量X的概率密度为连续函数fX(x),求:Y=aX+b(a≠0)的概率密度fY(y)。解当a＞0时,当a＜0时,对y求导得到特别当X~N(,2),则X的线性函数Y=aX+b(a≠0)服从正态分布N(a+b,a22).证即Y~N(a+b,a22).特别标准化变换有Y服从标准正态分布N(0,1)，其概率密度为◆结论:正态分布的线性函数仍然服从正态分布;例3.4