概率论与数理统计课件--随机变量函数的分布.ppt

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1、随机变量函数的分布随机变量的函数的分布在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题,例:☆测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：d为随机变量,S就是随机变量d的函数。的分布。☆在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：背景一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。随机变量的函数随机变量密度函数分布函数若X为离散型随机变量,其分布律为Xx1x2x3．．．．．．．xn．．．．pkp1p2p3．．．．．．．pn．．．．则随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为Yg(x1)g(x2)g(x3

2、)．．．．．g(xn)．．．．pkp1p2p3．．．．．pn．．．．如果g(xi)与g(xj)相同，此时将两项合并，对应概率相加．离散随机变量的函数的分布设随机变量X的分布律为求Y=2X2+1的分布律．解例由题设可得如下表格X－1012pk0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布律为y139pk0.30.60.1解由题设可得如下表格设圆半径X的分布律为求周长及面积的分布律．例X9.51010.511pk0.060.50.40.04x9.51010.511周长19π20π21π22π面积90.25π100π110.2

3、5π121π概率0.060.50.40.04解周长19π20π21π22π概率0.060.50.40.04所以，周长的分布律为面积90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04面积的分布律为设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(1)求Y的分布函数FY(y)根据分布函数的定义(2)对FY(y)求导，得到fY(y)连续型随机变量的函数的分布一般方法设随机变量X的密度函数为求随机变量Y=2X+8的概率密度。先求Y=2X+8的分布函数FY(y).解（1）（2）求Y=2X+8的概率密度解先

4、求分布函数FY(y)。设随机变量X服从正态分布求的概率密度。当时，所以，当时，所以，推论定理正态分布的线性函数仍服从正态分布正态分布的标准化设X~N（0，1），其概率密度为：则概率密度函数为：此时称Y服从自由度为1的分布,记作结论：若则定理若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为fX(x)fY(y),当g(x)是严格单调函数，则即Y服从[19，21]上的均匀分布．Y=0.1X+10的密度函数为X的密度函数为设随机变量服从[90，110]上的均匀分布,求Y=0.1X+10的密度函数。例解解体积的分布函数为例设球的半径X的概率密度为试求体积的概率密度。所以体积的概率密度为所以体积

5、的概率密度为即练习设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。答案：