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1、函数周期性专题训练唐江中学张广林一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意一个x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若
2、a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且
3、a-b
4、是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2
5、a-b
6、是它的一个周期.(3)函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2
7、a-b
8、是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4
9、a-b
10、是它的一个周期.命题
11、3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.三．函数周期性重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数，则是以为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=(
12、a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；10、函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。12、若
13、奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0.专题练习一、选择题1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ()A．－1B．0C．1D．22．已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则（）A．0B．－4C．4D．不能确定3.（2009江西）已知函数是上的偶
14、函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A． B． C． D．4.函数对于任意实数满足条件，若，则等于()A.B.C.D.5.是定义在上的函数，且，则（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数6.偶函数是以为周期的函数，且当时，，则的值为()7.已知偶函数满足，且当时，，则的值等于()A.B.C.D.8．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A．B．C．D．9（07安徽）定义在R上
15、函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）A.0B.1C.3D.510.是定义在R上的以3为周期的奇函数，且在区间(0,6)内解的个数的最小值（）A．6B．7C．4D．511.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于成中心对称，且满足f(x)=,f(0)=–2，则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值为（）A．–2B．–1C．0D．1【答案】BACDCADBDDC二、填空题1、函数对于任意实数满足条件，若则。2.上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_____个实数根.．4.设函
16、数定义在R上的奇函数，且图像关于直线对称，则.5.设函数为R上的奇函数，且，若，，则的取值范围是.6.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：其中正确的判断是（把
