浅谈高中教材中的周期函数.doc

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1、浅谈高中教材中的周期函数成语“周而复始”是指每增加一定的量(或时间)之后所出现的结果相同。数学屮的周期性函数用这一成语来诠释，既通俗易懂，又耐人寻味。为什么人们能够根据今天星期几，从而推算出几年、几十年后，甚至几百年后的今天是星期几，这就是同余问题，与每周七天的周期性相关。在学习周期函数和周期性的过程中，因为没有铺垫，学生对概念的理解有些怵I难。因此，教师只有深入挖掘概念的本质内涵，讲细讲透，才能帮助学生更好地理解和掌握，从而为以后学习抽象函数的周期性打下坚实的基础。教材中对周期性的定义为：对于函数y二f(x),如果存在一个非零常数T,使得当

2、x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期。函数的这一性质称为周期性。根据定义，我们可以得到以下结论：结论1：周期T必须是非零常数。这是因为如果T=0,那么对任意函数f(x)来说，均满足f(x+T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，所有的函数都满足，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了。结论2：(1)若THO为y=f(x)的一个周期，则周期T的任意正整数倍即nT(neN*)也是y二f(x)的周期。证明如下：f(x+T)=f(x),且xWD,x+TGD,因

3、此f(x+T+T)=f(x+T)=f(x),因此，2T为f(x)的周期，依此类推：3T,4T,……均为y=f(x)的周期。所以，nT(neN*)是y二f(x)的周期。(2)若THO为y二f(x),xER的一个周期，则周期T的任意非零整数倍，即nT(nEZ,且nHO)也是y二f(x),xeR的周期。证明如下：f(x-T)=f(x-T+T)=f(x),且xUD,x-T^D因此，-T为y=f(x)的周期，则-nT(nWN*)是y=f(x),xER的周期所以，nT(nEZ,且nHO)是y二f(x),xFR的周期。如y=sinx的一个周期为2n,贝I」

4、4h,6肌，8n,或-2n,-4n,-6兀,都是y=sinx的周期。结论3：周期函数的定义域应是无界的。且周期T>0,则周期函数必无上界，周期T〈0,则周期函数必无下界。这是因为：若T>0,假设y二f(x)的定义域为D为上界的数集，由确界存在公理可知，D必有上确界？拿£〉0,?xieD,使a-ea,即(xl+T)?埸。，这和题设相矛盾，故T>0时，定义域为D必无上界。同理，周期T〈0,定义域为D必无下界。如I：y=sinx,当x^R,或xU[0,+°°),或xe[-00,0)都可成为周期函数，而若当xe[0,10n]时，取9ne[0,10n]

5、,而9n+2nG[0,10n],则无法满足任取xU[0,10n],使f(x+T)=f(x)恒成立。y二f(x)的一个周期为2A。(作者单位吉林省松原市长岭县第三中学)?訓编辑杨兆东