周期函数的判定与非周期函数的判定.doc

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1、编辑本段周期函数的判定定理1　　　　若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则Kf(X)+C（K≠0）和1/f(X)分别是集M和集｛X/f(X)≠0，X｝上的以T*为最小正周期的周期函数。[1]　　证：　　∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T*且f(X+T*)=f(X)，∴Kf(X)+C=Kf(X+T*)+C，　　∴Kf(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。　　假设T*不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0＜T’＜T*）是Kf(X)+C的周期，则对，　　有Kf(X+T’)+C=Kf(X)+CK[f(X+T’)-f(X)]=0，∵K≠0

2、，∴f(X+T’)-f(X)=0，∴f(X+T’)=f(X)，　　∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是Kf(X)+C的最小正周期。　　同理可证1/f(X)是集｛X/f(X)≠0，X｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+n｝上的以T*/为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。　　证：　　先证是f(ax+b)的周期　　∵T*是f(X)的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+T）+b]=f（ax+b±

3、T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。　　再证是f（ax+b）的最小正周期　　假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，　　则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，　　∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。　　证：　　设T是u=g(x)

4、的周期，则1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)∴f(g(x+T))=f(g(x))　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数。　　例1　　设=f(u)=u2是非周期函数，u=g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。　　例2　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+

5、b)是周期函数（中学数学中已证）。　　例3　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)=（非周期函数）而f(g(x))=cos是非周期函数。　　证：假设cos是周期函数，则存在T＞0使cos（k∈Z）与定义中T是与X无关的常数矛盾，　　∴cos不是周期函数。　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u=g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。　　证：　　设（

6、(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T)±f2（x+T）=f1(x+T1q)±f2（x+T2p）=f1(X)±f2(X)∴f1(X)±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X)、f2(X)是以T为周期的周期函数。定理4推论　　　　设f1(X)、f2(X)……fn(X)是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若，…（或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。　　例4　　f(X)=Sinx-2c

7、os2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。　　例5　　讨论f(X)=的周期性　　解：2tg3是以T1=为最小正周期的周期函数。　　5tg是以T2为最小正周期的周期函数。　　tg2是以T3=为最小正周期的周期函数。　　又都是有理数　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数。　　同理可证：　　（1）f(X)=cos;　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。定理5　　设f1(x)=sina1x，f2(x)=cosa2x，则f1(

8、x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。