一般周期函数的判定方法

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1、一般周期函数的判定方法周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。1、周期函数的定义及性质定义：设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；（1）对 有（X±T） ；（2）对 有f（X+T）=f（X）则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函

2、数不一定有最小正周期。例1  常数值函数f（X）=C（C是常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数。狄利克莱函数D（X）=  是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。2、性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（因f[x+(T-T)]=f[X+(-T)]= f(X)）。因而周期函数必定有正周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。证：当n＞0时，f(x+nT)=f[x+(n-1)T+T]=f[x+(n-1)T]=……=f（x+T）= f(X)。当n＜

3、0时，∵-n＞0，由前证和性质1可得：nT=-（-nT）是f(X)的周期。∴当n为任意非零整数时命题成立。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（因f[x+（T1±T2）]=f（x+T1）= f(X)）。（4）、如果f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。否则必存在n1r Z+（Z+为正整数）使T=n1T*+r（0＜r＜T*），则对 （f(X)的定义域）有f(X)=f（x+T）=f＝（x+n1T*+r）=f（x+r），∴r也是f(X)的正周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾。∴T必是T*的正整数倍。（5）T*是f(X)的最小

4、正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）证：据条件和性质4知，存在K1、K2  Z，使T1=K1T*，T2=K2T*，∴ 。（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。（用反证法据性质5即可证得）。（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。证：若T是f(X)的周期，则nT（n ，n≠0）也是f(X)的周期，∴ 有X±nT M，∴M双方无界，但并非M必定（-∞、+∞），如tgX和ctgX的定义域分别为X≠Kπ+π/2和X≠Kπ（K ）。例2：f(X)=sinX（ ≤10π）不是周期函数。3、周期函数的判定定理1  若f

5、(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。证：∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，∴20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscerti

6、ficate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender-3-K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对 ，有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠

7、0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。定理2：若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。证：（先证   是f(ax+b)的周期），∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X±   ）+b=ax+b±T*∈M，且f[a（X+    ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax