一般周期函数的傅里叶级数

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1、§8一般周期函数的傅里叶级数一、周期为的周期函数的傅里叶级数定理设是周期为的周期函数，且满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数在上收敛,且(1)(2)当为连续点时，级数收敛于为间断点时，级数收敛于当其中(1)(2)证作换元，则在此变换下区间变为区间是周期为的周期函数可以验证：的傅氏级数在上收敛，且其中(*)由与复合而成是的连续点是的连续点由与复合而成是的连续点是的连续点即：是的连续点是的连续点将代入(*)式，得的连续点,,是的间断点是其中即(1)(2)式。证毕。说明(1)当上是奇函数时，奇函数的傅氏级数是正弦级数在(3)其中，按(3)式计算。当上是偶函

2、数时，偶函数的傅氏级数是余弦级数在(4)其中，按(4)式计算。(2)若只在上有定义，且满足收敛定理的条件，也可将它展开为傅氏级数。方法：首先，将进行周期延拓，将它拓广为周期为的周期函数；然后将展开成傅氏级数；最后，再将限制在上，就得到的傅氏级数展开式。即：按(1)、(2)式求出从而得到的傅氏级数在点，是的连续点时，级数收敛于；是的间断点时，级数收敛于在端点，级数收敛于(3)若只在上有定义，且满足收敛定理的条件，可将它展开成正弦级数和余弦首先，将进行奇延拓，将它拓广为上的奇函数；然后，将展开成傅氏级数(正弦级数)；最后，再将限制在上，就得到的正弦级数即

3、：级数。展开成正弦级数的方法：展开式。按(3)式求出从而得到的正弦级数在点，是的连续点时，级数收敛于；是的间断点时，级数收敛于在端点，级数收敛于首先，将进行偶延拓，将它拓广为上的偶函数；然后，将展开成傅氏级数(余弦级数)；最后，再将限制在上，就得到的余弦级数即：展开成余弦级数的方法：展开式。按(4)式求出从而得到的余弦级数在点，是的连续点时，级数收敛于是的间断点时，级数收敛于在端点，级数收敛于，级数收敛于例1设是周期为的周期函数，它在上的表达式为将展开成傅氏级数。解满足收敛定理的条件，它在点处间断，在其它点处连续。由收敛定理，得当时，傅氏级数收敛于当

4、时，傅氏级数收敛于计算傅氏系数：的傅氏级数为：例2将函数展开成余弦级数.解将偶延拓.在上连续当时，余弦级数收敛于在端点，余弦级数收敛于令在端点，余弦级数收敛于，求按公式(4)得：余弦级数为例3将函数展开成以为周期的傅氏级数。解令，则在此变换下，变为区间区间这样，记下面将展开成傅氏级数。在上连续的傅氏级数收敛于在点，在端点的傅氏级数收敛于，奇函数偶函数的傅氏级数为将换回，得即补充题：将函数展开成傅氏级数。作业补充题答案：