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1、第七节周期为2L的周期函数的傅立叶级数定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级数展开式为:当f(x)为奇函数时:其中系数bn为:当f(x)为偶函数时:其中系数an为:证明说明:例1设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上表达式为:f(x)=0,-2≤x<0k.0≤x<2(常数k≠0),把f(x)展开成傅立叶级数.解:此时L=2=0xyk2-2其图形如下一定义在区间[-L,L]上函数的傅里叶级数展开把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是:1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性,或者根据题意确
2、定对[0,L]上函数f(x)进行奇延拓还是偶延拓.2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,….与bn,n=1,2,…并写出相应的傅里叶级数.3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函数S(x).给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点:(1)准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性,对于傅里叶级数的计算是很重要的.由定积分性质可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函数或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正弦级数,或者是余弦级数.如果函数f(x)在[-L,L]上没有奇,偶性特性,则可经过(2)准确掌握函数f(x)的傅
3、里叶系数和傅里叶级数的坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x),然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数.公式设函数f(x)在[-L,L]上可积,则f(x)的傅里叶系数以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数质可知,不论a是什么值,都有中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单.(3)不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x)x为f(x)的连续点x为f(x)的第一类间断点x为区间的边界
4、点本身相混同.当函数f(x)在区间[-L,L]上满足狄里克雷定理条件时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x)因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必能以2L为周期延拓到[-L,L]之外,使其对任何实数x都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定义在[-L,L]上,则[-L,L]之外的f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与函数f(x)无关.(4)利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项例级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令变量x取某个特定值,即得到
5、所求数项级数的和值在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要再单独计算.二定义在区间[0,L]上函数的傅里叶级数展开定义在区间[0,L]上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以下几种情况:(1)把f(x)在[0,L]上展开成正弦级数.这时,要把f(x)x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个奇函数F(x),把该奇函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在[0,L]上.即为所求的正弦级数.(2)把f(x)在[0,L]上展开成余弦级数.这时,应把f(x),x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,
6、L]上构造一个偶函数F(x),在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在[0,L]上.即为所求的余弦级数.(3)把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数.这时,在区间[-L,L]上构造一函数F(x),使它在[0,L]上F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义F(x)=0,即当然,也可定义把扩充后的函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正弦项,又含有余弦项.(4)把f(x)在[0,L]上展开为以L为周期的傅里叶级数.它与前三项工作不同的是:前面
7、的函数展开工作是以2L为周期;这里以L为周期,且所得到的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.本项工作只要注意到f(x)的以L为周期的周期性,便得到相应的傅里叶系数公式为例2把图所示的函数展开成正弦级数y(x)是定义在[0,L]上的函数,要把它展开成正弦级数,必须对y(x)进行奇延拓,我们计算延拓后的函数的傅立叶系数0xyL解:例3设f(x)=x2(0≤x≤π),把f(x)在[0,π]上分别先把f(x)作奇延拓,则展开成正弦级数和余弦级数其次把f(x)作偶延拓上面把f(x)=x2在[0,π]上展开成正弦级数或余弦级数,是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以
8、得到的正弦级数或余弦级数都是以2π为周期的傅里叶级数.如果要把f(x)=x2在[0,π)上展开
