周期函数的傅立叶级数.ppt

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1、§8-5傅里叶级数展开研究周期（函数）现象产生；三角函数是最简单的周期函数；任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的级数表示；傅里叶(Fourier)，也译作傅立叶，法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学。1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为

2、科学院院士，1822年任该院终身秘书。数学方面主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。物理方面他是傅立叶定律的创始人，1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪的理论物理学的发展产生深远影响。本节内容一、三角级数

3、及三角函数系的正交性二、周期函数展开为傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数四、一般周期函数的傅里叶级数五、任意区间上非周期函数的傅里叶级数[P316，自学]三角函数公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sin

4、αcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα诱导公式：一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.2、三角函数系的正交性基；单位正交；4、函数的周期性延拓（P312）正弦级数为：…………练习将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:设已知又作业：P317，习题8-5，1(1)，3。小

5、结：1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考：处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为,3.设又设求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域4.写出函数傅氏级数的和

6、函数.答案:备用题1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里2.设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明