非周期函数的傅立叶级数.ppt

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1、湖南大学理科通识阶段教育课程——无穷级数微积分（二）第七讲非周期函数的傅立叶级数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~学习要求对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。知道函数展开为傅里叶级数的充分条件。能将周期函数及定义在和上的非周期函数展开为傅里叶级数，能将定义在和上的函数展开为正弦或余弦级数。第九章无穷级数第五节傅立叶级数非周期函数的傅立叶级数非周期函数的傅

2、立叶级数一、非周期函数的周期性延拓二、奇延拓和偶延拓三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄立克雷充分条件,也可展开成傅立叶级数.一、非周期函数的周期性延拓设非周期函数在上有定义，则函数称为非周期函数的周期延拓，的周期函数，并且在上有延拓后的函数在上是周期为解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.所求函数的傅立叶级数展开式为推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和二、非周期函数的奇偶延拓则有如下两种情况1.奇延拓2.偶延拓解(1)求正弦级数.(

3、2)求余弦级数例4把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有(2)将作偶周期延拓,则有说明:此式对也成立,由此还可导出据此有三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:方法2在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在令即上的正弦或余弦级数解一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点四、小结1以2L为周期的傅氏系数;2利用变量代换求傅氏展开式;3求傅氏展开式的步骤;（1

4、）.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);（2）.求出傅氏系数;（3）.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于4非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;5、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;