周期函数的探讨

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1、关于周期函数的探讨【摘要】本文主要从周期函数的定义、图象、性质、判定、周期求解、应用等方面来探讨了周期函数的相关问题，并结合相应的例子，说明了一些典型问题的处理方法。【关键词】函数周期函数三角函数抽象函数周期函数的周期性是函数的重要性质，它能刻也周期函数的变化规律。在高考题屮频频出现,要解决此类问题，必须牢固掌握周期函数的定义、透彻理解问题。在现行教材中关于周期性研究最多的是三角函数，而对非三角函数的周期性未加捉及，从而导致了不少学生错误认为只有三角函数有周期性，非三角函数没有周期性。其实不是那样的，近年的各类考试题，关于函

2、数周期性的考查屡见不鲜，考查的对象也不只是局限于三角函数。为了使读者更好地掌握周期函数，利用周期函数解决一些常见的数学问题，木文就周期函数在数学屮的探究进行论述。一、关于“周期函数”的定义1、通俗的定义对于函数y=/(对，如果存在一个不为零的常数使得当兀取定义威内的每一个值时,/(x+F)=/(x)都成立，那么就把函数y=/(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。2、严格的定义设/⑴是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数厂具有性质/(x+D=/(x),贝U称/(兀)是数集M上的周期函数，常数T称为/•(力的一

3、个周期。如果所有正周期有一个最小值,则称它是函数/（x）的最小止周期。因此，由定义可得：周期函数/（兀）的周期T是与兀无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。二、关于“周期函数”的图象1、关于）usiz,y=cosx的图象二、关于“周期函数”性质1、若卩(工0)是/(x)的周期，则-厂也是/(x)的周期。2、若T(^0)是/⑴的周期,贝IJnT{n为任意非零整数)也是门兀)的周期。3、若7；与7；是于(x)的周期，则T,±T2也是/(兀)的周期。4、若/(兀)有最小正周期厂，那么/(兀)的任何正周期T一定是厂的正整数倍

4、。5、若片、7；是/(力的两个周期，且三是无理数，则/(力不存在最小正周期。丁26、周期函数.f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。三、关于“周期函数”的判定和几种常见的形式定理1：若f(x)是在集M上以厂为最小正周期的周期函数则Kf(Q+C(K#0)和^—分别是集M和集Z={xf(x)^0,xeM}上的以厂为最小正周期的周期函数。证明:/T*是/(%)的周期，・・・对有x±T*且/(兀+厂)=f(x),・・・Kf(x)+C=A/(兀+厂)+C。・•・Kf(x)+C也是M上以厂为周期的周期函数。假设厂不是勺(切+C的

5、最小正周期，则必存在厂(Ov厂<厂)是勺(Q+C的周期，有Kf(x+厂)+C二心(x)+CB

6、JK[f(x+r)-f(x)]=O・・•KhO,・・・/(兀+厂)-/匕)=0,・・・/(兀+厂)=/(兀),・・・厂是/(劝的周期,与厂是/(兀)的最小正周期矛盾,・•・厂也是0(x)+C的最小正周期。同理可证丄是集e=｛xf(x)^0,xEM]上的以厂为最小正周期的周期函数。/W定理2：若兀幻是集M上以厂为最小正周期的周期函数，则f^ax+n)(rz#O)是集M｝上的以吿为最小正周期的周期函数(其中°、b为常数)。证明：先证石是

7、/S+b)的最小正周期•••厂是/⑴的周期，•••冇乳±厂酗，.ax+b=ax^b±T'eM,]1/[6Z(x+T)+/?]=f(ax+h±T')=f(ax-^h)•••L是f(ax+b)的周期。再证L是/(ax+b)的最小正周期假设存在r(o

8、/(“)是定义在集M上的函数u=g(x)是集d上的周期函数，口当g(QwM,则复合函数/(g(x))是冏上的周期函数。证明：设T是u=g(x)的周期，则冇(x±T)eMl.ftg(x+T)=g(x),・・・/U(x+n)=,・・・f(g(x))是冏的周期函数。定理4：设/©)、心(兀)都是集合M上的周期函数,7］、§分别是它们的周期，若~^Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，7；与Z的公倍数为它们的周期。证明：设—且(”・g)=l,令T=邛=7卩,则有hqx±T=x±T}q=x±T2peM,且/1(x+r)±/2(x+T

9、)=/1(x+T1^)±/2(x+T2/?)=/1(x)±/2(x),/.yi(x)±/2(x)是以7；和%的公倍数厂为周期的周期函数。同理可证：/；(%)•厶(切是以T为周期的周期函数。例1、/(X)=sinx-2cos2x+sin4x是以2龙、谢彳的最小公倍数2乃为周期的周期函数。定理