高考数学复习专题 分段函数与周期函数

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1、高考数学复习专题分段函数与周期函数一、高考题例：题目1.（2005年广东卷）在同一平面直角坐标系中，函数和的图像关于直线对称．现将图像沿轴向左平移２个单位，再沿轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图1所示），则函数的表达式为()图1Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.解：将图象沿y轴向下平移１个单位，再沿轴向右平移２个单位得下图A，从而可以得到的图象，故，图A∵函数和的图像关于直线对称，∴，故选A．(也可以用特殊点检验获得答案)题目2.（2005年广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数

2、，并证明你的结论．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由，令，得，由，令，得,∴，∴是以10为周期的周期函数，由得，的图象关于对称，∴在［0，11］上，只有，∴10是的最小正周期，∵在［0，10］上，只有，∴在每一个最小正周期内只有两个根，∴在闭区间上的根的个数是．二、经典例题例题1：已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；(3)

3、试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.解答：(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.(2)解：当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x)(0≤x≤1)

4、是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x,当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.例2图例题2：动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(

5、x)和g(x),并作出g(x)的简图.解答：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为：f(x)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP=AB·BP=(x－1）；当P在CD上时，即2＜x≤3时，S△ABP=·1·1=；当

6、P在DA上时，即3＜x≤4时，S△ABP=(4－x).例题3：已知是定义在(-,+)上的偶函数,且满足,当时,（1）当时,求的解析式；（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上,C、D在函数y=(0≤x≤2)的图象上,求矩形ABCD面积的最大值.解答：(1)是定义在(－,＋)上的偶函数,且例3图当时,有2≤x+2≤3故当,有,则有∴当时,(2)∵矩形两顶点A、B在x轴上,C、D在(0≤x≤2)的图象上,如图所示,设

7、AB

8、=2t,,则A(1-t,0),B(1+t.0)则

9、BC

10、=

11、AD

12、=f(1+t)=-2t2+4∴∵∴≤8·当且仅当,即,即当点A的横坐标时取

13、等号∴∴矩形ABCD面积的最大值是。三、热点强化训练1.（2005年高考北京）函数（）A．在上递减B．在上递减C．在上递减D．在上递减【答案】A【详解】当或时在上为增函数当或时在上为减函数.2.（2005年高考福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【详解】由题意至少可得，即在区间（0，6）内=0的解的个数的最小值是5.3.（2005年高考湖北卷）函数的图象大致是（）【答案】D【详解】=。4.（2005年高考山东卷）函数，若则的所有可能值为（）A.1B.C.D.【答案】C【详

14、解】又将x=1代入得f(