2019高考数学《从课本到高考》之集合与函数 专题06 分段函数学案

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1、专题6分段函数【典例解析】1.（必修1第45页复习参考题B组第4题）已知函数求，，的值.【解析】;;当时，，，当时，，.【反思回顾】（1）知识反思；函数及分段函数的概念，函数求值；（2）解题反思；应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.体现分类思想。【知识背囊】1．有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．（注意分段函数是一个函数，而不是几

2、个函数）；2．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分别画在不同的坐标系中．3．（1）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．（2）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它

3、们的并集．（3）分段函数求值：首先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段函数的解析式中求值，直到求出值为止．当出现的形式时，应从内到外依次求值．（4）对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．【变式训练】变式1.若，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】∵–2<0，∴；又∵2>0，∴，故选C．变式2.设函数，若，则实数（）A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2【答案】B【解析】由知，（舍去），即或，选.

4、变式3.已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范围是（）A．[–4，2）B．[–4，2]C．（0，2]D．（–4，2]【答案】B变式4.已知是上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)　　B.　　C.　　D.【答案】C【解析】据题意要使原函数在定义域R上为减函数，要满足3a－1＜0，且0＜a＜1，及x＝1时(3a－1)×1＋4a≥loga1，解得a的取值范围为，故选C.反思：在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的.变式5.已知函数是奇函数，则方程的根为（　　）A．B．C.，

5、D．，【答案】B【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.变式6.设函数是定义在上的奇函数，且，则【答案】【解析】由分段函数的解析式可知：.变式7.已知函数，若，则【答案】【解析】当即时，（舍）；当即时，。【高考链接】1.【2015高考新课标2理5】设函数,()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．2.【2017山东文9】设,若,则（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.3.【2014上海理18】若

6、是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．4.【2015高考湖北理6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数知，.5.【2014福建理7】已知函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为【答案】D【解析】由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确.由于图象左边不单调,所以B不

7、正确.由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确.故选D.6.【2015高考山东理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】当时，，所以，，即符合题意.当时，,若，则，即：，所以适合题意综上，的取值范围是,故选C.7.【2014四川理12】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则.【答案】1【解析】.8.【2014年安徽卷】若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.【答案】【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在上的解析式为，所以.9．【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为_____