2019高考数学《从课本到高考》之集合与函数 专题04 函数的性质学案

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1、专题4函数的性质【典例解析】1.（必修1第44页复习参考题A组第9题）已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.【解析】方法一：的对称轴，要使函数在上具有单调性，则或，解得的取值范围或.方法二：可逆向思考，若时，在区间上无单调性，解得：取它的补集得：的取值范围或.【反思回顾】（1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。2.（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，。画出函数的图象，并

2、求出函数的解析式。【答案】见解析【解析】设时，则，又当时，，则又是定义域在R上的奇函数；所以则得：，可得；【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数的解析式．利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②利用的奇偶性f(x)=－f(－x)或f(x)=f(－x)③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x)．3.（必修1第39页复习参考题B组第3题）已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你

3、的判断.【解析】在上是减函数；证明：设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0，∵在（0，+∞）上是增函数∴f（-x1）＞f（-x2）又是偶函数∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2）∴f（x1）＞f（x2）∴在（-∞，0）上是减函数。【反思回顾】（1）知识反思；函数奇偶性与单调性（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论），关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。同时启发我们注意函数性质之间的联系。【知识背囊】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意

4、两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)

5、存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫

6、做f(x)的最小正周期.【变式训练】变式1.已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，∴，解得，故选D．变式2.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0

7、，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.变式4.已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）A.-2B.C.3D.【答案】D【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以，故选D．变式5.已知函数为奇函数，且当时，，则__________.【答案】-2【解析】∵函数为奇函数,且当时,，。变式6.若在区间上是增函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】∵函数，结合复合函数的增减性，再根据在