实验十-周期函数

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1、实验十周期函数【实验目的】1.了解儿周期函数的基本概念。2.了解周期函数经过四则运算、复合运算、求导运算、积分运算后的周期性。3.学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】从图形上观测六个三角函数的周期性【实验准备】1.周期函数的基本概念函数/(尢)是以丁为周期的周期函数是指对任何兀，有+T)=/(x).使得上式成立的最小正数丁称为函数的最小正周期。2.周期函数的四则运算若/(x),g(x)都是周期函数，-•般地，他们的和(差)积商都未必再是周期函数。例如/(x)=x-[x]在(一8,+00)以7]=1为最小正周期，g(兀)=

2、

3、sinR在(一oo,+oo)以T2=71为最小正周期，但/(%)+g(x)并非周期函数。事实上，対任意实数a>0,总有/⑷+g(d)>/(0)+g(0)=0・但我们有如下具有一般意义的结论：为有理数，则若f(xg(x)都是周期函数,具有正周期八妨，且/(砒蛉)，/⑴阴筒g)"仍是周期函数。事实上，设R=bp,q是互质的自然数，则可以证明T=qT}=pT2是T2q/(x),g(x)的周期，从而是经过四则运算后函数的周期。3.周期函数的最小正周期一般说来，周期函数未必有最小止周期。例如，常値函数/(%)=c显然是没有最小正周期的，事实上

4、，容易证明任何实数T都是/(兀)的周期。然而，非常值的周期函数也未必有最小正周期，例如g(x)=1,兀是有理数-1,兀是理数由于有理数与有理数(无理数)之和必为有理数(无理数)，因此任何一个有理数都是g(x)的周期，显然g(x)没有最小正周期。但我们有如下具有普遍意义的结论：非常值函数y=f(x),xeM,如果在M的某聚点处有一单边有限或无限的极限，则/(兀)必有最小止周期。特别地，非常值的连续周期函数必存在最小止周期。这个结论的证明这里略去。【实验方法与步骤】练习1图形上观测六个三角函数sinx,cosx.tanx,arctanv,

5、secx,cscx的周期性。(1)正弦函数y=sinx在区间［一6兀,6刃绘图相应的MATLAB代码为：x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;y=sin(x);plot(x,y);xlabelCx");ylabelCy");⑵正弦函数y=cos兀在区间［一6兀,6刃绘图相应的MATLAB代码为x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;y=cos(x);plot(x,y)；xlabel("x");ylabel('y‘)；7T⑶画正切函数y=tan兀的图形时,要注意函数在x=k^+厅上不连续，所以我们只能分别绘出TT1T函数在区间伙兀

6、,kn+—Xk=0，±h±2,・・・・相应的MATLAB代码为：22x=-l.5:0.01:1.5;xl=x-pi;x2=x+pi;y=tan(x);yl=tan(xl);y2二tan(x2);plot(x,y,xl,yl,x2,y2);xlabel('x‘)；ylabel(，y‘)；(4)余切函数y=cot兀在兀=kqk=0,±l,±2,…上不连续,可画出函数在各个区间伙兀,(k+=0,±1,±2,…上的图形,这个函数是以兀为最小正周期的奇函数.x=-3:0.01：-0.15;xl=x+pi;x2=x+2*pi;y=cot(x);y

7、l=cot(xl);y2=cot(x2);plot(x,y,xl,yl,x2,y2);xlabel('x');ylabel('y')；或clearx=-3:0.01：-0.15;xl二x+pi;x2=x+2*pi;y=cot(x);plot(x,y,xl,y,x2,y);xlabel('x');ylabel('y');(5)正割函数y=secx=——在x-kji.k=0,±l,±2,---±没有定义，它是个无界的偶函数,cosx且是以2龙为最小正周期的周期函数。x二T.5:0.01:1.5;xl=x-pi;x2=x+pi;x3=x+2

8、*pi;y=sec(x);yl=sec(xl);y2=sec(x2);y3=sec(x3);plot(x,y,xl,yl,x2,y2,x3,y3,'b');xlabel('x');ylabelCy');X(6)余割函数y=escx=—在x=k7i+—.k=0,±l,±2,••-上没有定义，它是个无界的sinx2奇函数，尺是以2龙为最小正周期的周期函数。x=0.15:0.01:3;xl=x-pi;x2=x+pi;y=csc(x);yl=csc(xl);y2=csc(x2);plot(x,y,xl,yl,x2,y2);xlabel('x‘

9、)；ylabel('y)8七".•■•••一;•3-2-101234567x练习2硏究函数y=sinx+2sin2x+3sin3x的周期性。在区间［-6兀,6兀］绘图相应的MATLAB代码为：x=-6*pi:2*pi/3