导数及其应用试题选编.doc

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1、导数及其应用试题选编一、填空题１扬州14．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是▲．2．启东中学3．若曲线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为▲．3．苏北四市8．曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是_▲.4．苏北四市13．已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是____▲.5．泰州实验9．函数的单调减区间为_▲_．6．盐城8．.设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____▲___.二、解答题1．无锡19．已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果是增函数，且存在零点

2、（为的导函数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x11．由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．以下证明．（※）（※）等价于．令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，r′

3、（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．当x1

4、数，此时．　若，当时，；当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．故．若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为e．（3）不等式，可化为．∵,∴且等号不能同时取，所以，即，因而（），令（），又，当时，，，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是．3．启东中学20．已知函数,过点P(1,0)作曲线的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）设

5、MN

6、=

7、，试求函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值．解：（1）当.则函数有单调递增区间为；（2）设M、N两点的横坐标分别为、，同理，由切线PN也过点（1，0），得（2）由（1）、（2），可得的两根，＝，把（*）式代入，得因此，函数（3）易知上为增函数，；由于m为正整数，.又当因此，m的最大值为6.4．苏州20.已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，

8、求证：．解：Ⅰ），，．∴，且．解得a＝2，b＝1．（Ⅱ），令，则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；当x∈时，，∴h(x)是减函数．则方程在内有两个不等实根的充要条件是即．（Ⅲ），．假设结论成立，则有①－②，得．∴．由④得，∴．即．即．⑤令，（0＜t＜1)，则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴．5．泰州19.已知数列，中，，且是函数的一个极值点.（1）求数列的通项公式；（2）若点的坐标为（1，）（，过函数图像上的点的切线始终与平行（O为原点），求证：当时，不等式对任意都成立.解：（1）由是

9、首项为，公比为的等比数列，当时，，所以（2）由得：(作差证明)综上所述当时，不等式对任意都成立.6．泰州20.已知，其中是自然常数，（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。解：（1）当时，，此时为单调递减当时，，此时为单调递增的极小值为（2）的极小值，即在的最小值为1令又当时，在上单调递减当时，（3）假设存在实数，使有最小值3，①当时，由于，则函数是上的增函数，解得（舍去）②当时，则当时，，此时是减函数，当时，，此时是增函数，解得7．盐城理2已知二次函

10、数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求、b、c