根的判别式与根与系数的关系.doc

《根的判别式与根与系数的关系.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初三数学(下学期)总复习代数专题二一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系典型例题　　例1求证：如果关于x的方程没有实数根，那么，关于y的方程一定有两个不相等的实数根.　　分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.　　证明 设方程即的根的判别式为，方程的根的判别式为，则　　　　∵方程无实数根，　　，即，解得：　　当时，　　，即.　　故方程有两个不相等的实数根.　　说明：上述证明中，判定用到了所得的结论，即，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.　　例2 不解方程，判断下列一元二次

2、方程的根的情况.　　（1）；　　（2）；　　（3）.　　分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.　　解：（1）　　　　    　　∴方程有两个实数根.　　（2），　　∴方程是一元二次方程，此方程是缺少

3、常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.　　∴.　　∴不论b取任何实数，均为非负数，　　恒成立.　　∴方程有两个实数根.　　（3），　　∴方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数.　　，　　∴需要讨论a、c的符号，才能确定的符号.　　当时，，方程有两个相等的实数根；　　当a、c异号时，，方程有两个不相等的实数根；　　当a、c同号时，，方程没有实数根.　　说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值

4、情况的讨论.　　例3 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根.　　求证：（1）方程有两个不相等的实数根；　　（2）设方程的两个实数根为，若，则.　　分析：运用根的判别式证之.　　证明 ∵方程有两个相等的实数根，　　　　整理，得.　　（1）方程的判别式　　.　　　　∴方程有两个不相等的实数根.　　（2）解方程，得　　　　　　说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.选题角度：　　关于用一元二次方程根的判别式进行证明的题目、关于不解方程，判别一元二次方程根的情况的题目、关于用一元二次方程根的

5、判别式，求未知代数式值的题目、关于已知一元二次方程根的情况，求字母的值的题目、 关于用一元二次方程根的判别式，证明方程根的情况的题目。　　一、基础知识　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac，用“△”表示．　　2.一元二次方程的根的判别定理　　　△＞0方程有两个不相等的实数根．　　　△=0方程有两个相等的实数根．　　　△＜0方程没有实数根．　　　△≥0方程有两个实数根．　　3.一元二次方程的根与系数的关系　　如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根

6、是x1，x2，那么　　，．　　4.以两个数为根作一元二次方程的理论　　以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．　　5.一元二次方程的根的符号与系数的关系　　设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，则两根同号两根同正　两根同负有一根为　两根异号x1．x2＜0(即a、c异号)两根异号且正根绝对值较大两根异号且负根绝对值较大两根互为相反数两根互为倒数　　6.二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的理论　　若

7、ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则有ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．　　二、典型例题　　例1　已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．　　解：设方程x2+(a+1)x+b-1=0的两个根为2k，3k．　　　　则　　　　即　　又∵△=1，　　即(a+1)2-4×1×(b-1)=1，　　　∴(-5k)2-4×6k2=1．　　　∴k2=1．　　　∴k=±1．　　当k=1时，2k=2×1=2，3k=3×1=3．　　当k=-1时，2k

8、=2(-1)=-2，3k=3(-1)=-3．所以方程两根为2，3或-2，-3．　　例2　已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．　　解：∵，　　　　∴(x1+x2)(x1-x2)=0．即x1+x2=0或x1-x2=0．　　当x1+x2=0时，即-[-2(m+2)]=0，∴m=-2．　　当m=-2时，方程为x2+7=0．此时△＜0，∴m=-2舍去．　　当x1-x2=0时，即△=0，　　∴[-2(m+2)]