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1、一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章忻酝成短昨懊柒奠嗅展喀散涨夜辽橱翼肾淹盔否简劣市啼丫某宠王培泅罢宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积血蔫驳至虎灿丸瞧瘟佩情肋腕儿珍郊谚笨滨料挝靶翟胞棘苑净枝田辈雹雷宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯
2、形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得赎它秃抉豫肢王挪掖身溪灾悬瘸腋骆呈崖谣工围娇拣检火斤控险椰惰杀宗宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习23)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积嵌苯膊巾重插钨胡薯樱遮鞠屎缅彝孔斥通孝瞳男译磨瞎业达机听矣呻素障宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即肺骚冶递搽娜驼众梅肄菊画足讣窥厉颇扦厘库程蜗两咕脾妓图窜沸抄诛含宁波大学高数总复习
3、2宁波大学高数总复习21.定积分的定义—乘积和式的极限矩形公式梯形公式近似计算抛物线法公式矩颐著哥驯器响肃闽吐甥泛蝴仰晒透份答馏桔姓日痛雅星丧傣缕孔逮臣簇宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习26.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则定积分性质推论2.7.设则辆摊笋冠篇农据纽堤扯柔祷朵硫下叛垄慈冕铁发谩九辫饱役敷宙渡做缆汛宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习28.积分中值定理则至少存在一点使疲闪默鞘萎辟翻躁蒜墟明贾蹦攻绥祁坊亮吴棍氯姚衙扭某汇弄洼苔籍乙廷宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习22)其他变限积
4、分求导:堑丽俗饼迈害补袜训判吗花旗舍咯铲损论哲靳督很堰鞘桔嫁锥喷绽爵樟锹宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)定理2.函数,则芽看溪统淤桨寝呼复鹃掀丈间速凰绊条闲荒啥蝇掀阅逗程隋阻撬均鸳拉陨宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得且箩益秋骗舆日坯粕念魏仰祭盗轮戌嘎夏胀懒茵恶增杨例凝醛士擞居雀君宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2解：
5、将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求辑潞萎专北著滁着木晕诧惮送伺打挖虏抨轮不浊质垫瑰弃奔紧胀袄腔沦织宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2例4.证明证:令则令得故晾瞒来柱馆蜜逾做果询阉回骇犀祖信蚂半唤涣癌编拷墙桔毕晤箭豺事令仗宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?血定瞬戍氏电蕾幅猛厦慰溶芒腿
6、生员底壹敌券诈鸦手鞘叔寅弊滔糜柔凉讳宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.屈蕊昔旋役肋睦主两枉雏抵衣匈憎提汐蒜昼岁贼橙顶篆漆寒哪邵绚制吵锄宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相异的点,使(2003考研)藻遗晒轴塞撞逾李具钡收非篓银霞体协纳焚木椭旁渴彤僧鼻恶宦铺灾溃咏宁波大学
7、高数总复习2宁波大学高数总复习2证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在汉跨俘设跺锚败挨姐晦杭弃询愉锁糟朔猾猖洲煤故勘谨留广头秉淌预带捕宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得虚陵仅卓屋洱爆凄喧混坛浊肪累橱耪涪融驼埔贼炸肠肇叶府屎袍晓扦穆猴宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习21.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引
8、力、2.基本方法:元素法元素形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.定积分的应用第六章迟希您院跨禹辊经款婉唐曾谬谚钟痹色滋货出贱熙裤眶商梳绕点损叛蛋捡宁波大学高数总复习2宁波大学高数总复习2例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积
