高数-2015高数A上总复习课件.ppt

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1、高数A（上册）总复习题复习三角函数公式定义4：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.注：拐点是曲线上的点，为平面点；几个重要的小概念可微高等数学上册重要概念可导有极限连续积分左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大大左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间

2、断点第一类第二类1.多项式与某些分式函数代入法求极限;2.消去零因子法求极限;3.无穷小因子分出法求极限（分子、分母同除以x的最高次幂）;4.无穷小运算性质求极限;5.利用左右极限求分段函数极限.6.极限的存在准则；7.两个重要极限；8.等价无穷小的替代；9.分子（分母）有理化；10.函数符号与极限符号交换；11.幂指函数求极限；12；洛比达法则求极限；13；转化为定积分求极限等.求极限常用方法常用等价无穷小:例如求解:令则利用夹逼准则可知有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.闭区间上连续函数的性质例

3、.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例.设函数试确定常数a及b.例.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.上连续,且恒为正,例.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即变限函数的导数公式求极限解洛必达法则用洛必达法则确定几种未定式极限的方法洛比达法则求极限左极限:右极限:【结论】单侧极限、导数、单侧导数函数y=f(x)在x=x0点的导数定义其他形式2.右

4、导数:1.左导数:常数和基本初等函数的导数公式（16）常用的高阶导数公式函数和、差、积、商的微分法则微分公式求导法则基本公式导数微分导数、微分内容之关系可微几个重要概念之间的关系可导有极限连续你能举出反例吗？1、隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.特殊函数求导方法2、对数求导法一般地由复合函数及反函数的求导法则得特殊函数求导方法解？例设在处连续,且求解:设解:又例.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.Rolle定理Lagrange中值定理Cauch

5、y中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三个中值定理之间的关系；函数f（x）、F（x）在区间1、[a，b]上连续2、（a，b）内可导微分中值定理定理2(第一充分条件)极值的条件定理3(第二充分条件)例.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至

6、少有一个实根.证:令则且由罗尔定理知存在一点使即证:设则所以当令得即所证不等式成立.在上存在,且单调有递减,证明对一切例：设例.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(2019考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在保号性定理证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使在区间上连续,且试证存在使例：设例：已知函

7、数内可导,且证:(1)令故存在使即(2019考研）内可导,且(2)根据拉格朗日中值定理,存在使例.已知函数阶导数,且存在相等的最大值,并满足例.设函数证:据泰勒定理,存在使由此得即有(2019考研）情形1.则有内具有二阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形2.因此据零点定理,存在即有则有例.设函数应用罗尔定理得内具有二例.试证使分析:即证故作辅助函数至少存在一点即证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果

8、能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15例.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相异的点,使(2019考研)证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得例.设证:设且