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1、二、连续与间断一、函数三、极限函数与极限第一章一、函数1.概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中2.特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同3.下列函数是否为初等函数?为什么?以上各函数都是初等函数.4.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得4.解:5.已知,求解:6.设求解:解:利用函数表示与变量字
2、母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中，求令即即令即画线三式联立即例1.二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点(左右极限存在)第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.p70-723.闭区间上连续函数的性质例2.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:上连续,且恒为正,例5.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即上连续,且acdb,例6.设在必有一点证:使即由介值定理,证明:故即三、极限1.极限定义的等价形式(以为例
3、)(即为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:(x→0时)4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法5.求极限的基本方法或注:代表相同的表达式例7.求下列极限：提示:无穷小有界则有复习:若2.求解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值3.求解:令则利用夹逼准则可知导数与微分第二章一、导数和微分的概念及应用导数p79:当时,为右导数当时,为左导数微分:关系:可导可微(思考P125题1)应用:(1)利用导数定义解决的问题(3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极
4、限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.例1.设存在,求解:原式=设解:又例5.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.例4.设,试确定常数a,b解:得即使f(x)处处可导,并求是否为连续函数?判别:二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(
5、4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼茨公式.导出例6.设其中可微,解:例7.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数解:由题设存在,因此1)利用在连续,即得2)利用而得3)利用而得二、导数应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理泰勒中值定理柯西中值定理3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的
6、两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉
7、氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等..在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,例8.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,故当x>0时,从而在上单调增.得例11.证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函
8、数更好?提示:例15.求解法1利用中值定理求极限原式解法2利用泰勒公式令则原式解法3利用洛必达法则原式不定积分的计算方法第四章一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法
