宁波大学高数总复习

《宁波大学高数总复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、与定积分概念有关的问题的解法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积

2、分变量用什么字母表示无关,即1.定积分的定义—乘积和式的极限矩形公式梯形公式近似计算抛物线法公式6.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则定积分性质推论2.7.设则8.积分中值定理则至少存在一点使2)其他变限积分求导:牛顿–莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)定理2.函数,则一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求例4.证

3、明证:令则令得故二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?例10.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相异的点,使(2003考研)证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0

4、.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:元素法元素形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.定积分的应用第六章例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积使它故为最小值点,因而所求切线为得[0,1]上的

5、唯一驻点例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小值点,因此时V取最小值.例4.证明曲边扇形绕极轴证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为故所求旋转体体积为例5.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的垂直距离为则微分方程第七章一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准

6、类型方程求解三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令高阶线性微分方程线性齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.(叠加原理)定理1.定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.则线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程

7、的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.②①定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其

8、通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法为特征方程的k(=0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(=0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.空间解析几