专题复习之指数与指数函数.doc

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1、专题复习之指数与指数函数一、知识梳理1．根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)．③n＝a.④当n为奇数时

2、，＝a；当n为偶数时，＝

3、a

4、＝.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．

5、指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)x＜0时，0＜y＜1x＜0时，y＞1.在(－∞，＋∞)上是减函数当x＞0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1；在(－∞，＋∞)上是增函数【学习方向】一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y＝

6、ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.二、考试题型考点一指数幂的化简与求值1、化简［］的结果为（B）A．5B．C．－D．－52、将化为分数指数幂的形式为（A）A．B．C．D．3、化简(a,b为正数)的结果是（C）A．B．abC．D．a2b4、化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)；(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).解　(1)原式＝(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝a－－－·b＋－＝.＝－a－b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.5、计算：(1)0.027－－－2＋－0

7、；(2)－·.解　(1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1＝－49＋－1＝－45.(2)原式＝·a·a－·b·b－＝a0·b0＝.6、已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.考点二指数函数题型一定义域与值域问题1、求下列函数的定义域和值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、下列函数中，值域为的函数是（D）3、设集合，则是（C）A、B、C、D、有限集4、（2016湖南理2）函数f(x)＝的定义域是　（A　）　　A、　　B、[0，＋∞）　C、（－∞，0）　D、（－∞，＋∞）5、(2016重庆)若函数的

8、定义域为R，则实数的取值范围。6、若函数，求函数的最大值和最小值。2和-967、已知，求的最小值与最大值。,∵,∴.则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。8、如果函数在上的最大值为14，求实数的值。或9、若函数的值域为，试确定的取值范围。，依题意有即，∴由函数的单调性可得。题型二单调性问题。1、函数的单调增区间为_____________2、函数在区间上的最大值比最小值大，则=_____或3、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是(C)A.[6,+　B.　C.　D.4、函数的单调性为（A）A．增函数B．减函数C．常数函数D．与

9、a,b取值有关5、若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是(　　)．A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值解析　设y＝f(x)，t＝2x＋1，则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．5、设，解关于的不等式。解：∵,∴在上为减函数，∵,∴∴解集为6、已知函数.(Ⅰ)用函数单调性定义及指数函数性质证明:是区间上的增函数；(Ⅱ)若，求的值.解：(Ⅰ)设，………4分∵，∴，，∴.∴是区间上的增函

10、数…………8分(Ⅱ)……………………∵∴∴…………………………………………………………12分7、已知函数，求其单调区间及值域。令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函