圆的基本概念和性质―知识讲解(提高.doc

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1、圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点诠释：　①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确

2、定半径，二者缺一不可；　②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：　①定点为圆心，定长为半径；　　②圆指的是圆周，而不是圆面；　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：　　①圆有无数条对称轴；　②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴

3、是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质　两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.　　直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：连结OC、OD　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧　　在同圆或等

5、圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形

6、C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？【答案与解析】∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆及有关概念3．已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为()A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5【答案】C.【解析】作图，过点P作直径AB，过点P作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，　　　由勾股定理，得，

7、　　　∴CD=2PC=8，又∵AB=10，　　　∴过点P的弦长的取值范围是，　　　弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4条.故选C.【总结升华】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，容易漏解.类型三、圆的对称性4．圆O所在平面上的一点P到