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1、圆的方程【学习目标】1•掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.学握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程.【要点梳理】要点一：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2t其中(d,方)为圆心,r为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时6z=0,b=0f圆的方程就是x2+/=r2.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b二0；圆与y轴相切时：山
2、=厂；圆
3、与x轴相切吋：厂；与坐标轴相切吋:
4、a
5、=
6、b=r；过原点：a2+b2=r2(2)圆的标准方程U-^)2+(y-/?)2=r2«圆心为仏b),半径为厂，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(兀—a)2+(y—b)2=尸，圆心为c(a,b),半径为八则有⑴若点M(%%)在圆上o
7、CM=ro(x0-a)~+(y0-/?)2=r2(2)若点M(x0,%)在圆外o
8、CM
9、>厂o(%0-a)2+(y
10、()>r~⑶若点M(x0,%)在圆内o
11、CM
12、v厂o(x0-6Z)2+(北-b)20时，方程x2+b+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.-Jd2+E2-4F为半径.2要点诠释：由方程+=0得(D、2X+——+y+—2丿<2丿2D?+E?-4尸4nrnp⑴当D—4"0时，方程只有实数解一亍—亍它表示-个点(-亍巧).(2)当Z)2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.⑶当D2+E2-4F>0时，可以看111方程表示以D~2F1I一为圆心,-y/D2+E2-4F为半径的圆.2丿2要点四：几种特殊位置的圆
13、的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点x2+y2=r2(厂HO)x2+y2-r2=0(厂工0)过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+h2x2+y2+Dx-{-Ey=0圆心在X轴上(x-a)2+y2=X(心0)x2++Dx4-F=0圆心在y轴上x2+(y—b)2=r2(r^0)x2+于+£>+F=0圆心在X轴上且过原点(x-a)2+y2=/(qhO)兀2+尸+=0圆心在y轴上且过原点x2+(y-Z?)2=Z?2(Z?^0)x2+b+=0与X轴相切(x一a)2+(y—b)2=b2x2+y+D^+Ey+F=O(D2-4F=0)与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+才
14、+Dy+Ey+F=0(E2_4F=0)要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据己知条件，建立关于a、b、厂或ZXE、F的方程组.(3)解方程组，求出°、b、广或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程.1.当动点满足的儿何条件易于“坐标化”时，常釆用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；
15、当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.3.求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；(2)列出关于的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答.【典型例题】类型一：圆的标准方程例1.求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C经过A(5,1),B(l,3)两点,圆心在x轴上；(1)经过点P(5,l),圆心在点C(&—3).【思路点拨】一
16、般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法,求出圆心坐标和半径.【答案】(1)F+『2=9(2)(x-2)2+y2=10(3)(兀一8尸+(y+3尸=25【解析】(1)兀2+丿2=9(2)线段AB的屮垂线方程为2x-y-4=0,与无轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为
17、C5
18、=V10，所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.⑶解法一：・・•圆的半径r=
19、CP
20、=^/(5-8)2+(1+3)2=5,圆心在点C(8,—3)・・・圆的方程是(X-8)-+
