圆中的基本概念和性质

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1、圆中的基本概念和性质一、圆1、定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“．2、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；3、性质（1）对称性①轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴；②中心对称图形：对称中心是圆心；③旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）垂径定理①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．②推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的

2、垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．问题：若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经□ABCD四个顶点，则□ABCD是_________________形解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．10/10（3）圆心角和圆周角①圆心角、圆周角的定义②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆

3、心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．10/10题型一：圆的定义1.点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是

4、．题型二：圆周角定理圆周角<->圆心角例1.(2007浙江温州)如图，已知是的圆周角，，则圆心角是．变式练习1：(09四川凉山)如图，是的外接圆，已知，则的大小为__________．变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是()变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_________．10/10变式练习4：（2010海淀期末考试）如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为（）A．B．C．D．变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点

5、时，乙也跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径例2.(07重庆)已知，如图：为的直径，，交于点，交于点，．给出以下五个结论：①，；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正确结论的序号是．ＤＣＢＡＯ变式练习1：如图，，是的两条直径．求证：四边形为矩形．10/10题型三：垂径定理例3.(07年广州中考题)如图，是的外接圆，于点，交于点，，如果的半径为，则结论错误的是()A．B．C．D．变式练习1：如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_________．变式练

6、习2：如图所示，在中，，，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则．变式练习3：如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．变式练习4：(2003·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为()A．2B．310/10C．4D．5变式练习5：(2000·北京西城区)如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是()A．CE＝DEB．C．∠BAC＝∠BADD．AC>AD变式练习6：(2000·北京市丰台区)在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，

7、截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．变式练习7：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为的中点，OE交CD于点F.已知CD=600m,EF=100m，求这段弯路的半径.变式练习8：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？10/10变式练习9：(2008广东湛江)如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接．⑴求证：．⑵若，求的直径．例4.如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证

8、．变式练习1：如图所示，同心圆中，大圆