导数应用之数列.doc

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1、导数应用之数列一.导数的概念1、定义:左导数:右导数:可以证明:可导连续即:可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数:二.导数在数列问题中的应用1.利用导数确定数列的最大或最小项例1已知数列{}的通项=,nN+,求数列{}的最大项解:构造辅助函数f()=(x>0),则=16x-显然,当00,当x>时,()<0,故f(x)在区间(0,)上是增函数,在区间(,+)上是减函数,所以当x=时,函数取最大值。对于nN+,f()=,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75,即数列{}的最大项为

2、=75.2.利用导数研究数列的增减性例2设定以在R上的函数f()与数列{}满足:>a,其中a是方程f()=x的实数根,,f()可导,且(0,1).(1)证明:>a,(1)判定与的大小关系,并证明证明(1)由已知>a,即n=1时,>a成立.(2)设n=k时>a因为()>0,所以f()是增函数,所以=f()>f(a)又由题设可知f(a)=a,所以即n=k+1时,命题成立.由(1)(2)知nN+时,>a成立.(2)要比较,的大小,即比较和f()的大小,构造辅助函数g()=x-f(),则(x)=1-(x)>0,故g()是增函

3、数,所以当>a时,g()>g(a),又因为g(a)=a-f(a)=0,g()=,所以>0,故即3.利用导数求数列前n项和例3求数列前项的和.解:当x=1时,=1+2+3+…+n=当x1时,因x+2x++…+=,两边求导数,得1+2x+3+…+n-=1-(n+1)+综上可知:当x=1时,,当x1时,4.利用导数证明数列不等式例4若其中t[,2],是数列{}前n项的和,求证:证明:构造辅助函数()=,t[,2]则()=.当时(t)<0当10故f()在[,1]上递减,在[1,2]上递增所以=f()=f(2)=

4、即=所以说明这里需要证明:所以命命题的证.5.导数在数列求和中的应用例5,求下列数列之和(1)(2)(3)分析(1)由可设则而上式两端对x求导,并整理得[1](2)比较(1),(2)两式中的通项可发现,只需对[1]两端同乘以x,再对x求导便可得到:(3)由可知只需对[1]式两端继续求导便可得到:=三.数列是特殊的函数(导数的应用)1.函数的单调性与导数例1已知函数f(x)=--1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范

5、围;若不存在,说明理由.解析(1)由已知=3-a.因为f(x)在R上是单调增函数,所以f′(x)=3-a≥0在R上恒成立,即a≤3对x∈R恒成立.又因为3≥0,所以只需a≤0.又因为当a=0时,f′(x)=3≥0,即f(x)=-1在R上是增函数,所以a≤0.(2)由=3-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3,x∈(-1,1)恒成立.因为-1

6、-1,1)上单调递减.2.函数的极值与导数例2已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+-10x的一个极值点.(1)求a;(2)求函数f(x)的极大值;(3)若直线y=b与函数y=的图象有3个交点,求b的取值范围.解析(1)因为=+2x-10,所以=+6-10=0,因此a=16.(2)由(1)知,=+2x-10=(x>-1).此时,、随x的变化情况如下表:x(-1,1)1(1,3)3(3,∞)f′(x)+0-0+f(x)单增极大值单减极小值单增由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.(3)由(2)知

7、,f(x)在(-1,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)上单调递增,且当x=1或x=3时,f′(x)=0,所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,当且仅当f(3)

8、,得=-2,=2.则,f(x)随x的变化情况如下表:x-3(-3,-)-2(-2,2)2(2,3)3f′(x)+0-0+y=f(x)17单增极大值24单减极小值-8单增-1显然,M=24,N=8,则M-N=24+8=32.

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