极限数列导数 文档.doc

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1、数列的极限几个重要极限无穷等比数列{qn}(

2、q

3、<1)的极限是0,即数列极限的运算法则如果例1.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若=,则等于例2.若(-na+b)=2,则ab的值为例3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2.则(++…+)=例4.已知=,则a的取值范围是例5.已知数列{an}满足[(3n-1)an]=4,则nan=例6.求极限:(0<θ<).数列1.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求

4、证:bn·bn+2<b2n+1.82.数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.(1)求;(2)求证.3.已知数列中,,,且.(Ⅰ)设,证明是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.8导数1、已知函数.(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;(,或)(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.答案:()解析(Ⅰ)由题意得又,解得,或(Ⅱ)函数在区间不单调,等价于导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数即函数在上存在零点,根据零点

5、存在定理,有,即:整理得:,解得2、设函数.(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.解析:(Ⅰ),∵曲线在点处与直线相切,∴(Ⅱ)∵,当时,,函数在上单调递增,此时函数没有极值点.当时,由,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,8∴此时是的极大值点,是的极小值点.3、设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.答案:解析:(Ⅰ),∵曲线在点处与直线相切,∴(Ⅱ)∵,当时,,函数在上单调递增,此时函数没有极值点.当时,由,当时,,函数单调递增,当

6、时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,∴此时是的极大值点,是的极小值点.4.已知函数,讨论的单调性.解析的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。8①当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。①当,即时,方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.5.设函数(1)求函数的单调区间;(2)若,求不等式的解集.解析(1),由,得.因为当时,;当时,;当时,;所以的单调增区间是:;单调减区间是:.(2)由,得:.故:当时,解集是:;当时,解

7、集是:;当时,解集是:.86.已知函数,其中若在x=1处取得极值,求a的值;求的单调区间;(Ⅲ)若的最小值为1,求a的取值范围。解(Ⅰ)∵在x=1处取得极值,∴解得(Ⅱ)∵∴①当时,在区间∴的单调增区间为②当时,由∴(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)①知,当时,由(Ⅱ)②知,在处取得最小值综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是(2009重庆卷理)设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线.(Ⅰ)求的值;8(Ⅱ)若函数,讨论的单调性.解(Ⅰ)因又在x=0处取得极限值,故从而由曲线y=在(1,f(1))处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2,即(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令(

8、1)当(2)当K=1时,g(x)在R上为增函数(3)方程有两个不相等实根当函数当时,故上为减函数时,故上为增函数(2010重庆理数)(18)(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分)已知函数其中实数。(I)若a=2,求曲线在点处的切线方程;(II)若在x=1处取得极值,试讨论的单调性。88

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