正余弦定理解三角形题型归纳总结.doc

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1、专题：正弦定理和余弦定理考点集结一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinBa>bA>B）二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线

2、和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；③南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，为坡比）2、Δ

3、ABC的面积公式（1）；（2）；（3）。考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用〖例1〗（11浙江文）在中，角所对的边分.若，则（）A．B．C．-1D．1答案：D在△ABC中，，则A的取值范围是（A）（B）（C）（D）答案：C解析：由得，即，∴，∵，故，选C．考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗（1）（10上海文）若△的三个内角满足则△A．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角（2）在

4、锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得＝.即＝.∴＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．答案：2　(，)1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝(1)判断△ABC的性状；(2)若

5、＋

6、＝2，求·的取值范围．解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△A

7、BC为等腰三角形．(2)∵

8、＋

9、＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B考点三：利用正余弦定理求三角形的面积〖例3〗（20

10、09浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解析：（Ⅰ）w.w又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以1、在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；BDCA（II）若，求的值．解（1）因为，，又由得，（2）对于，又，或，由余弦定理得，2、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（I）由知。又所以即故(II)由（I）得：又由正弦定

11、理，得：所以考点四：利用正余弦定理求角〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△中，为边上一点，，．（1）求的大小；（2）当时，求的值．解：（1）由已知，…………………1分…………………2分…………3分…………………5分∵∴．…………………………7分（2）（1）…………………9分（2）………………11分14分（2010山东文）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为.【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。考点五：正余弦定理实际应用问题〖例5〗（本小题满分12分）如图，A，B

12、是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，