高一数学教案[苏教版]等差数列的前n项和1.pdf

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1、第五课时等差数列的前n项和(一)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.a＋b（2）若a，A，b为等差数列，则A＝.2（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）Ⅱ.讲授

2、新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋⋯＋100

3、＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，⋯⋯100第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×＝5050.2这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，⋯，n,⋯的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发

4、我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋⋯＋an①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋⋯＋a1①①＋①2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋⋯＋(an＋a1)第1页共6页又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝⋯＝an＋a1①2Sn＝n(a1＋an)n（a1＋an）即：Sn＝2若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+⋯+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来

5、，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+⋯+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得n个2Sn＝(a1an)(a1an)(a1an)＝n(a1＋an)n（a1＋an）即：Sn＝.2n（a1＋an）由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝.2也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.100（1＋100）用这个公式来计算1＋2＋3＋⋯＋100＝？我们有S100＝＝5050.2又∵an＝a1+(n－1)d,n（a1＋an）n[a1＋a1＋（n－1）d）]n（n－1）∴Sn＝＝＝na1＋d222n（a

6、1＋an）n（n－1）∴Sn＝或Sn＝na1＋d22有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.120（1＋120）则：S120＝＝72602答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，⋯前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所

7、给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54由等差数列前n项求和公式可得：n（n－1）－10n＋×4＝542解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，⋯前9项的和是54.［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16第2页共6页（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但

8、由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝1816（a1＋a16）∴S