等差数列前n项和

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1、复习引入1.等差数列定义：即an－an－1＝d(n≥2).2.等差数列通项公式：(1)an＝a1＋(n－1)d(n≥1).(2)an＝am＋(n－m)d.(3)an＝pn＋q(p、q是常数)复习引入3.等差中项成等差数列.m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq.(m，n，p，q∈N)4.等差数列的性质2.3等差数列的前n项和（一）数列的前n项和：称为数列{an}的前n项和，记作Sn，Sn=数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公

2、式，这是一个有待研究的课题.等差数列的求和公式你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？世界七大奇迹之一——印度泰姬陵泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现这是个什么问题呢？从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝

3、石……第一百层是100颗宝石即:1+2+3+······+100=？2.2等差数列的前n项和德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加

4、法中间的一组数是什么呢？看看高斯的（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050??高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法）类型：项数是偶数的数列求和高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？S21=1+2+3+…+212S21=(1+21)+(2+20)+(3+19)+…+(21+1)S21=21+20+19+…+121个22探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法--------倒序相加法总

5、结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？问题2:等差数列1,2,3,…,n,…的前n项和怎么求？sn=1+2+…+n-1+n2sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)sn=n+n-1+…+2+1n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？利用倒序相加法上式相加得：由等差数列性质可知：问题3:对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？求和公式等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；不含d可知三求一等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘

6、积的一半。公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.想一想结论：知三求二公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550.根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求

7、出其余两个量?结论：知三求二解题思路一般是:建立方程(组)求解等差数列的前n项和公式应用举例例1求前n个正奇数的和.解由等差数列前n项和公式,得思考:你能看出右图与本题的关系吗?1n1n练习：求前n个正偶数的和n11n+1例2在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如北京天坛圆丘的地面由扇环形石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:(1)第9圈有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板

8、?北京天坛圆丘解(1)设从第1圈到第9圈石板数构成数列,由题意可知是等差数列,其中故(块)(2)由等差数列前n项和公式,方式1(块)答第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板方式2(块)例2、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例题讲解n23230提示：n=76法二：例3在等差数列{an}中，