高三数学教案：小结与复习(二).pdf

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1、课题：小结与复习(二)教学目的：1.进一步巩固求极限的基本方法，数学归纳法.2.利用函数极限存在，解题.3.利用函数的连续性，解一些题目教学重点：求解数列或函数的极限.教学难点：极限的求解.数学归纳法的应用.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.并且与我们下一章要学习的导数有密切的关系.学习极限概念要注意体会对象的变化规律，数列或函数有极限，意味着它们在变化中无限趋近于一个常数，所以我们要以运动的眼光来看待事物，要把握运动状态中的不变量.本节课，先本看一个用数学归纳法来证明的一个例子，虽然极限是本章的主要内容

2、，但数学归纳法这种方法也要掌握，特别是一些与n有关的题目，用数学归纳法证明会很方便，接着再来看一些关于极限的一些题目，进一步巩固一下求极限的一些方法.教学过程：一、讲解范例：1111例1已知数列,,,,,⋯1447710(3n2)(3n1)(1)计算S1，S2，S3，S4.(2)猜想Sn的表达式，并证明.(3)limSn.n11解：(1)S1=.14411712S2=1447287212013S3=77107010313914S4=.10101313013(2)解：通项是以3n－2，3n+1两数乘积为分母的，而我们看到，在表示上面四个结果的分数中，分子可用项数n表示，分母可用3n+1表示，

3、于是可猜想.1111nSn=1447710(3n2)(3n1)3n1第1页共8页证明方法一:用数学归纳法证明如下：1111°当n=1时，S1=等式成立.144311k2°假设当n=k时等式成立.即Sk=.3k1当n=k+1时.111Sk114(3k2)(3k1)(3k1)(3k4)1k1Sk(3k1)(3k4)3k1(3k1)(3k4)2k(3k4)13k4k1(3k1)(3k4)(3k1)(3k4)(3k1)(k1)k1(3k1)(3k4)3k4k13(k1)1∴当n=k+1时，等式也成立.n∴S*n=(n∈N)3n11111证明方法二：()(3n2)(3n1)33n23n11111∴S

4、n1447710(3n2)(3n1)11111111111(1)()()()34347371033n23n111111111(1)34477103n23n11113n(1)33n133n1n3n1n∴Sn=3n1第2页共8页n11(3)解:limSlimlimnnn3n1n133n例2已知下列极限，求a与b.2x1(1)lim(axb)0xx12(2)lim(xx1axb)0xxab(3)lim12xx1分析：此题属于已知x趋向于x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x=x0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x不趋于确定的

5、常数，(3)虽然趋于1，但将x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a，b的值.22x1(1a)x(ab)x(1b)解：(1)lim(axb)limxx1xx11b(1a)x(ab)xlimx11x1°如果1－a≠0，11b∵lim0,lim0xxxx1b(1a)x(ab)x∴lim不存在.x11x2°如果1－a=0，1b(1a)x(ab)x(ab)0∵limx1101x=－(a+b)=0即a+b=0第3页共8页1a0a1∴ab0b12解：(2)lim(xx1axb)x22(

6、xx1axb)(xx1axblimx2xx1axb22xx1(axb)limx2xx1axb222(1a)x(12ab)x(1b)limx2xx1axb221b(1a)x(12ab)xlim0x11b1a2xxx2要使极限存在1－a=0.221b(1a)x(12ab)x(12ab)∴lim0x11b1a1a2xxx即1+2ab=0，a+1≠0.21a0a1∴12ab01ba102xab(xab)(xab)解：(3)limlimx12x12x1(x1)(xab)2xablimx12(x1)(xab)2xablimx1(x1)(x1)(xab)2xab当x→1时极限存在，则分子、分母必有公因式

7、x－1.∴(x1)(x1)(xab)2a－b=－111∴原式=lim1x1(x1)(xab)2(1ab)第4页共8页215ab1a16∴1112(1ab)b4说明：第一题是分子分母同除以x的较低的幂，第二题是分子有理化，和第一题的方法相结合，第三题是因式分解法和分子有理化法相结合.我们以前求极限的一种方法是分子、分母同除x的最高次幂，但像第一题，因为分子的2次数低于分母的次数，如果分子除以x，则分子极限为0，不符合，所以