重积分复习资料 ppt课件.ppt

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1、一、问题的提出１．曲顶柱体的体积定义2.对二重积分(doubleintegral)定义的说明D二、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。二重积分的几何意义二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方取负．例1根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.解投影区域为圆域被积函数为半球面由二重积分的几何意义，得性质１当为常数时，性质２三、二重积分的性质性质４若为D的面积，性质５若在D上有特殊地则有性质３对积分区域具有可加性性质６性质７（二重积分

2、中值定理）（二重积分估值不等式）特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.四、二重积分计算公式特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.ⅠⅡⅢ若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式积分区域如图例2解典型例题解两曲线的交点例3例4解12345-2-1123例5解使用对称性时应注意：1.积分区域关于坐标轴的对称性；2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.五、利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重

3、积分计算的简化例6解二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式七、二重积分的极坐标计算公式适用范围二重积分化为累次积分几种常见的情形（注：极点在积分区域外）二重积分化为二次积分几种常见的情形（注：极点在积分区域边界上）二重积分化为二次积分几种常见的情形（注：极点在积分区域内）典型例题例7解例8解积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.例9八、曲面的面积T曲面面积元素例10解九、三重积分的定义十、三重积分(tripleintegral)的物理意义性质１当为常数时，性质２（三重积分与二重积分有类似的性质）十一、三重积分的性质性质３对区

4、域具有可加性性质４性质５特殊地则有性质６性质７（三重积分中值定理）（三重积分估值不等式）三重积分在直角坐标系下的计算一、坐标面投影法二、坐标轴投影法(截面法)三、利用对称性简化三重积分的计算十二、坐标面投影法叠积分例11解十三、坐标轴投影法(截面法)坐标轴投影法(截面法)例12解使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.十四、利用对称性简化三重积分的计算其它情形依此类推.三重积分计算的简化例13解例14解三重积分在柱坐标系下的计算

5、一、柱面坐标系下的计算二、球面坐标系下的计算十五、柱面坐标系柱面坐标系中确定空间一点位置的方法柱面坐标与直角坐标的关系为体积微元：注：如果被积函数中含有，且积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：如果被积函数中含有，且积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：如果被积函数中含有，且积分区域在例15解十六、球面坐标系把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式注：如果被积函数中含有，且积分区域是球面，或球面及锥面围成的区域时，用球面坐标更简单。例16解